Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
Во-первых, можно утверждать, что все фазовые траектории соответствуют осциллирующим, но затухающим, стремящимся к положению равновесия движениям (за исключением «движения» по траектории jc = 0, j> = 0). Действительно, все эти траектории — спирали; так как при движении представляющей точки по спирали координата и скорость системы многократно проходят через нуль, то спирали на фазовой плоскости отображают осцилляторный процесс. Далее радиус-вектор представляющей точки, двигающейся по спирали, уменьшается после каждого оборота; это значит, что мы имеем дело с затухающим процессом, максимальные значения х и х уменьшаются от оборота к обороту. Во-вторых, очевидно, что особая точка jc = 0, у = 0 соответствует состоянию равновесия.
Результаты, полученные из анализа характера движений на фазовой плоскости, можно сформулировать так: наша система при любых начальных условиях совершает затухающие осцилляторные движения вокруг положения равновесия х = 0, у = 0, за исключением того единственного случая, когда начальные условия как раз соответствуют состоянию равновесия.
В рассматриваемом случае мы имеем только одну особую точку системы интегральных кривых, являющуюся асимптотической точкой для всех интегральных кривых. Такая особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом.
Выясним теперь вопрос, является Рис. 24. ли в рассматриваемом случае особая
точка типа фокуса устойчивой. Принимая во внимание, что представляющая точка по всякой интегральной кривой будет двигаться, приближаясь к особой точке, легко убедиться в том, что условие устойчивости состояния равновесия, сформулированное нами выше, в этом случае соблюдается. Действительно, мы всегда можем выбрать такую область 8 (рис. 24, двойная штриховка), чтобы представляющая точка не вышла за пределы области є (простая штриховка). Следовательно, в рассматриваемом нами случае состояние равновесия устойчиво и особая точка — устойчивый фокус. Устойчивость особой точки типа фокуса, очевидно, связана с тем, раскручиваются или скручиваются интегральные кривые, считая по направлению движения представляющей точки. Так как направление движения представляющей точки однозначно определено выбором координат (точка должна двигаться по часовой стрелке), то вместе § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 59
с тем (так как направление отсчета времени не может быть изменено) однозначно устанавливается и устойчивость особой точки в рассматриваемом случае. Наоборот, если бы спирали раскручивались (считая в том же направлении), то особая точка была бы неустойчива. Как легко убедиться, например, из уравнения (1.28), скручивание интегральных кривых обусловлено тем, что А^>0, так как только в этом случае радиус-вектор при движении по часовой стрелке убывает.
Таким образом, особая точка типа фокуса, вообще говоря, может быть как устойчивой, так и неустойчивой (в отличие от особой точки типа центра, которая, как мы видели, всегда устойчива). В рассматриваемом случае фокус устойчив, потому что Фи-
зический смысл этого условия устойчивости ясен: трение должно быть положительно, т. е. должно препятствовать движению и потреблять энергию. Такое положительное, препятствующее движению трение, на преодоление которого затрачивается работа, не может вызвать неустойчивости, и если положение равновесия в . системе было устойчиво при отсутствии трения (в гармоническом осцилляторе), то оно останется устойчивым и при наличии положительного трения. При дальнейшем рассмотрении мы встретимся с неустойчивыми особыми точками типа фокуса.
Рассмотренный нами устойчивый фокус обладает «более сильной» устойчивостью, чем рассмотренный в предыдущем параграфе центр. Действительно, в случае устойчивого фокуса будет выполнено не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии достаточно длинного промежутка времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но, наоборот, затухают, мы будем называть абсолютной устойчивостью. В рассмотренном нами случае линейного осциллятора фокус абсолютно устойчив.
4. Затухающий апериодический процесс. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения действительны, т. е. когда Aa (Oq. В этом случае, обозначая
Г, (1>37)
получим корни характеристического уравнения:
\l = — h-\-q= — ql, \ = — h—q = — qt (1.38)
(<72 0). Поэтому общее решение уравнения (1.16) может быть
записано в виде
X = Ae-"1' -\-Be~q"J )
и [ (1.39)
x = — qiAe-qit — qiBe-qit\ 60 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
Здесь А и В определяются начальными условиями. Именно, если для t = 0 jc = jc0 и jc=jc0, то
___X0 QixD с~ Vit j X0 -f- qiX0 g—(140)
qt — qi qi — q3
Нашей задачей является исследовать характер возможных движений в зависимости от начальных условий.
Во-первых, очевидно, что при всяких начальных условиях движение затухает, так как qt ^>0 и Qr2 ^>0 и, значит, при t-*--\* оо jc (*) -*¦ 0. Чтобы выяснить подробнее характер затухания, найдем tt и t3 — моменты времени (т. е. промежутки времени после начального момента), для которых соответственно обращаются в нули * и jc. Воспользовавшись (1.40), находим следующие уравнения для определения и
