Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
достигшая к этому моменту максимума, начнет снова убывать. Система будет асимптотически приближаться к положению равновесия.
Другой случай, когда начальная скорость и начальное отклонение разных знаков, т. е. начальный толчок направлен в сторону, противоположную начальному отклонению, приводит к двум различным типам движений (II и III). Если начальный толчок мал по сравнению с начальным отклонением, то система вследствие наличия большого трения не может перейти через положение равновесия и будет асимптотически приближаться к положению равновесия (кривая II). Если же начальная скорость достаточно велика, то система в некоторый момент Z1 пройдет через положение равновесия (кривая III) и после этого еще будет обладать некоторой скоростью, направленной от положения равновесия, т. е. в ту же сторону, в которую отклонена система. При этом получается уже рассмотренное движение типа /; система достигает некоторого наибольшего отклонения и затем асимптотически приближается к положению равновесия. Таким образом, движение типа III только в первой своей части (до точки Z1) отличается от движения типа /. После же точки Z1 движение III аналогично движению типа I. С другой стороны, движение типа / после точки аналогично движению типа II. И действительно, движение представляющей точки по некоторым фазовым кривым, проходящим через все три области I, 11 и 111 (например, по кривой, отмеченной буквой А на рис. 28), будет принадлежать либо к III, либо к I, либо к типу II в зависимости от того, в какой области будет лежать представляющая точка в начальный момент.
Предельный случай (когда A2 = (Oo) мы не будем рассматривать подробно, а ограничимся лишь краткими указаниями, ибо этот случай (как, впрочем, и всякий случай, когда соотношение между параметрами системы точно фиксировано) не может быть точно реализован в физической системе и имеет значение только как граница между двумя различными типами затухающих процессов — осцилля-торным и апериодическим. В случае A2 = cog, как известно, решение исходного дифференциального уравнения (1.16) нужно искать в виде:
x = (A-\-Bt)e~9t.
Можно и в этом случае не искать решение дифференциального уравнения второго порядка, а перейти к уравнению первого порядка, определяющему фазовые кривые (1.34). Мы и в этом случае получим семейство интегральных кривых параболического типа и устойчивую особую точку типа узла, так что с точки зрения поведения интегральных кривых и типа особой точки этот граничный случай следует отнести к случаю A2 со§, а не к случаю A2 (o§. Случай A2 = о)о, не имея физического значения, все же представляет известный расчетный интерес, так как часто бывает выгодно так подобрать
3* 68
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
затухание системы, чтобы A2 было возможно ближе к Этим, с одной стороны, устраняются колебания в системе, которые неизбежны при А2, много меньшем, чем шо, а с другой стороны, скорость апериодического возвращения системы к нулю получается наибольшая (больше, чем при больших величинах А). Такие именно условия являются наивыгоднейшими для ряда измерительных приборов, например, для гальванометров. Но при сколь угодно малом изменении параметров системы этот предельный случай превратится в один из двух других, рассмотренных ранее. Поэтому он не представляет физического интереса и не отражает характерных черт реальной физической системы. Предельный случай имеет значение только как граница, формально разделяющая системы на колебательные и апериодические. Необходимо, однако, иметь в виду, что разделение систем на колебательные и апериодические, которое в случае линейной системы хотя и может быть математически проведено вполне строго, в сущности говоря, не имеет большого физического содержания, ибо при больших значениях А система теряет свои наиболее характерные «колебательные черты» еще до того, как A2 достигает величины Шо- Действительно, если A2 лишь немного меньше ш§, то затухание системы весьма велико, и уже второй максимум, следующий за начальным отклонением, может быть практически совершенно не заметен. Точно так же становится незаметным и явление резонанса — одно из наиболее характерных явлений в неавтономных колебательных системах.
Таким образом, хотя формально случай А2 = шо и является граничным, но фактически граница между колебательным и апериодическим процессами размыта и не может быть проведена резко. Заметим, кстати, что для некоторых нелинейных систем (например, систем с «постоянным», «кулоновским» трением, или с «квадратичным» трением), как мы увидим, разделение на колебательные и периодические теряет смысл.
§ 5. Осциллятор с малой массой*)
1. Линейные системы сстепени свободы. Рассматривая линейный осциллятор при наличии трения, мы предполагали, что все три параметра осциллятора — масса (индуктивность), коэффициент трения (сопротивление) и коэффициент упругости (величина, обратная емкости) — играют одинаково существенную роль и заметно влияют на свойства и поведение системы. В тех случаях, когда трение мало, можно, как мы уже указывали, вовсе не учитывая влияния трения на движения в системе, ответить на некоторые вопросы, для которых трение играет второстепенную роль. Если же трение ве-
