Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
g<g«-i?.iUi + Xo(Qt-Qi) (1.41)
Xa-sT QiX0 x0-\-q$x0 '
g( дч - g,) t, __. Q* (*o + QIхо) _ і і х0(дг — qt) ^43.
Qi (^o + QiX0) 1 qi(x0 + q3x0)'
Из этих уравнений сразу видно, что каждое из них имеет не более одного корня; таким образом, осцилляторное затухание невозможно, мы имеем дело с гак называемым апериодическим процессом.
Выясним, когда уравнение, определяющее не имеет ни одного положительного корня. В этом случае движение монотонно затухает, асимптотически стремясь к нулю. Как видно из выражения для (1.42), это будет, если
<0. (1.43)
X0 q о
На рис. 25 указана область начальных значений, которые удовлетво-
Часто представляется удобным записывать решение уравнения (1.16) при A2 > через гиперболические функции: общее решение в виде
X = е~м (Л ch qt + B sh at)
и решение, удовлетворяющее начальным условиям х = х0, х = х0 при t = 0, в виде:
л: = е-"1 jjf0 ch qt + + sh qt^, Jt = е-« {л Ch qt - <їі+АІо sh ^ j.
Последние выражения получаются из (1.21) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические и м на q.§ 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 61
ряют этому неравенству (область //). Для остальных начальных значений -——-]> 0 — уравнение, определяющее имеет положило + ЧіХ0
тельный корень; это значит, что смещение не убывает монотонно, а сначала возрастает по абсолютной величине и, лишь достигнув некоторого экстремума, начинает убывать, асимптотически стремясь к нулю.
Здесь следует различать два случая, смотря по тому, имеет ли при рассматриваемых начальных условиях уравнение, определяющее ty, положительный корень или такого корня нет. Если такого корня нет, то смещение в течение всего времени движения (0<^<^со) сохраняет свой знак; система отдаляется от положения равновесия, достигает некоторого максимального отклонения и затем монотонно приближается к положению равновесия (но не проходит через положение равновесия). По (1.41) этот случай имеет место, если
л *а_ , >0- (1.44)
хо т Я-IxO
На рис. 25 цифрой I отмечены области начальных значений^ приводящих к движениям такого типа.
Если уравнение, определяющее tu имеет положительный корень, то система сначала приближается к положению равновесия, в момент t = tt проходит через положение равновесия, далее в момент t = t2 достигает некоторого максимального отклонения в направлении, противоположном начальному отклонению, и, наконец, монотонно приближается к положению равновесия, не достигая, однако, его в конечное время').
На рис. 25 область III соответствует начальным значениям, приводящим к такого рода движениям.
Связь между характером движения и начальными условиями можно представить графически еще и в другом виде, именно изобразить зависимость смещения от времени для всех трех случаев I, II, III;
') Нетрудно видеть из уравнений (1.41) и (1.42), что —4i)ih — h)—Si
Яі
и, следовательно, непременно t% > C1.
xV-^cIix о
X=-Wo
Рис. 25.62
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
это и выполнено на рис. 26, причем предполагается, что во всех случаях начальное смещение д:0^>0.
X
X
5. Изображение апериодического процесса на фазовой плоскости. Перейдем теперь к исследованию фазовых траекторий на фазовой плоскости X ,у (у = х). Уравнения (1.39) являются параметрическими уравнениями фазовых траекторий в рассматриваемом случае. Исключая из них время t 1X нетрудно получить координатное уравнение интегральных кривых:
(у + ЯіхГ =C (У + q,xr. (1.45)
Чтобы исследовать это семейство кривых, опять воспользуемся линейным преобразованием координат:
y-\-qiX = v; у 4- q^x = и.
') Это можно сделать, например, следующим образом. Разрешая уравнения (1.39) относительно Ае~ и Be~qit, получим:
у + = (q, - qt) Ве~"*1, + q,X = (?9 - qj Ае~
После возведения первого выражения в степень qі и второго — в степень q, P деления одного из полученных соотношений на другое получим (1.45).§ 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
63
После этого преобразования уравнение (1.45) примет в новых переменных простой вид:
V = Cna, где а = ^> 1. (1.46)
Толкуя и и V как прямоугольные координаты, мы можем сказать, что после преобразования получили семейство «парабол», причем, поскольку а5>1: 1) все интегральные кривые, за исключением кривой, соответствующей С=оо, касаются в начале координат оси и,
так как Caua^1, следовательно, =0; 2) интегральные
кривые при C=O и C= оо вырождаются в прямые: при C1 = O имеем V = 0, т. е. ось и; при Ci = оо имеем и = 0, т.е. ось V; 3) интегральные кривые обращены выпуклостью к оси а'), ординаты их монотонно возрастают по абсолютной величине при увеличении и. Семейство таких парабол изображено на рис. 27.
Перейдем теперь обратно на плоскость je, у. Оси V на плоскости и, v соответствует прямая у -(- Я*х — О на плоскости х, у\ оси и — прямая у -(- Я\Х = 0. Остальные интегральные кривые или, точнее, остальные кривые семейства (1.45) на плоскости х, у представляют собой деформированные параболы, касающиеся прямой узе= — Я\х («бывшей» оси и). Для того чтобы изобразить это семейство кривых, нужно учесть еще следующие обстоятельства: 1) кривые семейства имеют горизонтальные касательные в точках