Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Пункты 1 и 2 переработаны Н. А Железцовым, пункты 3 и 4 написаны !їм заново. ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
69
лико'), то может встретиться другой случай, когда вследствие своей малости играет второстепенную роль один из двух других «колебательных» параметров системы — масса или коэффициент упругости (индуктивность или величина, обратная емкости).
Мы рассмотрим движение тела малой массы в сильно сопротивляющейся среде под действием пружины (этот случай представляет наибольший интерес для рассмотрения в дальнейшем так называемых «разрывных» колебаний). Дополнительно к тем предположениям, которые мы делали при постановке задачи о линейном осцилляторе с трением, мы пренебрежем массой движущегося тела. Тогда уравнение движения запишется в виде дифференциального уравнения первого порядка:
bx^kx = 0 (1.47)
(здесь, как и раньше, х — смещение относительно положения равновесия, k и b — положительные коэффициенты упругости и трения). Таким образом, в рассматриваемом случае мы пришли к системе с 1 /3 степени свободы. Для однозначного определения состояния такой системы достаточно задания одной величины (например, координаты jc) вместо двух величин, необходимых для определения состояния систем с одной степенью свободы. Соответственно, для системы с 1Ii степени свободы фазовое пространство является одномерным и представляет собой не плоскость, а линию.
Решение уравнения (1.47), как известно, имеет вид:
-А, X = Ae ь
или, если ввести начальное условие JC = JC0 при *=04),
jc = jc0c b . (1.48)
Очевидно, jc = O является состоянием равновесия; при всех других начальных условиях (jc0 ф 0) осциллятор без массы совершает апериодически затухающие движения, приближаясь (при t-+-[-oo) к состоянию равновесия.
Ту же картину мы получим и при рассмотрении движения изображающей точки по фазовой линии — прямой jc (рис. 30). Начало
') Мы говорим «мало» и «велико», не указывая, по сравнению с чем. Как было отмечено во Введении, в таком виде эти утверждения не имеют большого содержания. Но из дальнейшего рассмотрения станет ясно, по сравнению с чем должно быть велико трение или сопротивление.
2) Мы не можем теперь (при принятой идеализации) задавать начальное значение скорости лг0 произвольно, независимо от задания лг0, так как значения скорости x и координаты х однозначно связаны между собой уравнением (1.47), которое мы считаем справедливым в любой момент времени "(для мо-
Л • k >
мента ? = 0 получаем: X0 =--.- X0 j. 70
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
координат является состоянием равновесия; изображающая точка из других состояний двигается по направлению к состоянию равновесия (так как справа от него и слева лг^>0).
Системами с '/8 степени свободы являются и электрические контуры, состоящие из сопротивления и емкости (/?С-контур, рис. 31)
или из сопротивления и индуктивности (/^L-контур, рис. 32). Это, конечно, также идеализированные системы, к которым мы прихо-
__ X=O _
Рис. 30.
HWWVVWWn
Рис. 31.
Рис. 32.
дим, отправляясь от соответствующих реальных электрических контуров, но учитывая из всего многообразия свойств и качеств этих контуров только некоторые основные, существенные для рассматриваемого круга вопросов, и пренебрегая, в частности, малыми (паразитными) индуктивностями или емкостями тех или иных элементов, составляющих контуры. Уравнения движения для таких контуров могут быть записаны в виде
Rq-I--J = O (1.49)
для /?С-контура (q — заряд конденсатора) и
LJt+Ri = ° (L50)
сила тока в контуре). Их решениями, очевидно,
__L -Rt
q = qae К, l = t0e L .
Встает вопрос, насколько «законно» или целесообразно принятое нами представление рассматриваемых физических систем в виде систем с '/я степени свободы, т . е. насколько точно дифференциальные уравнения первого порядка (1.47), (1.49) и (1.50) и их решения отображают движения этих реальных физических систем. Само собой разумеется, что сейчас идет речь только о тех движениях физических систем, которые начинаются из состояний, совместимых (с известной степенью точности) с уравнениями движения соответствующих систем с !/3 степени свободы '). Ответ на этот вопрос мы
') Как указывалось во Введении, с помощью любой данной идеализированной системы мы можем рассматривать только те движения реальной физической системы, которые начинаются из состояний, допускаемых уравнениями зюй идеализированной системы,
для /^L-контура (і — являются: § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
71
можем получить, сравнивая результаты, полученные решением уравнений (1.47), (1.49) или (1.50), с экспериментальными данными. Такое сравнение показывает целесообразность, «законность» применения систем с степени свободы для отображения движений соответствующих физических систем.
Мы покажем сейчас аналитически, что, например, учет малой массы осциллятора не дает ничего существенно нового, т. е. что масса, если она достаточно мала, не является существенным параметром в рассматриваемой задаче. Учтем малую массу осциллятора и сравним решение более «полного» уравнения осциллятора с малой массой
