Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
г0: T1-T,: ... = ро: Pi: ps: ... ,
где через ро, pi, ра, ... обозначены расстояния на плоскости и, v преобразованных точек пересечения до начала координат.
Отсюда следует, что каждому полуобороту радиуса-вектора г изображающей точки, двигающейся на плоскости х, у по спирали (1.29), соответствует также полуоборот радиуса-вектора р на плоскости и, v (с уменьшением угла f на тс за интервал времени, равный = ^j. Согласно (1.28), очевидно имеем:
_ Лж
Pl=Po* Ps = Po*
Так как расстояния г0, T1, г„ ... и р0, р1( pa,... пропорциональны друг другу, то, очевидно, длина радиуса-вектора изображающей точки на плоскости X,у после полуоборота равна
яft _d_
r1 = r0e~<o=r 9е *> (1.31)
после полного оборота
2гЛ
Tj=ToC "=^oe
и после п оборотов
rin = r,e-nd. (1.32)
Мы видим, что уменьшение радиуса-вектора происходит по ранее найденному показательному закону с логарифмическим декрементом затухания d = hT.
Мы выяснили, таким образом, характер фазовых траекторий. Можно показать, что через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна спираль, соответствующая определенному значению константы С или, иначе говоря, соответствующая определенным начальным условиям. Вся плоскость заполнена спиралями, вложенными друг в друга, по которым изображающая точка асимптотически (при оо) приближается к началу координат.
Исключение составляет лишь состояние равновесия — точка х = 0, _у=0, которую следует рассматривать как отдельную фазовую 56
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. I
траекторию. При движении изображающей точки по спирали фазовая скорость никогда не обращается в нуль, постепенно убывая с каждым оборотом, так что время каждого оборота остается неизменным и
равным Т = — . Фазовая скорость всегда равна нулю для «движе-
(О
ния», отображаемого траекторией х = 0, _у = 0.
3. Непосредственное исследование дифференциального уравнения. Мы исследовали характер движений на фазовой плоскости для случая линейного осциллятора при наличии трения, пропорциональ-. ного скорости, и выяснили, что процессам при малом затухании (Aa си3) соответствует движение изображающей точки по спиралеобразной фазовой траектории, имеющей асимптотическую точку в начале координат. Само начало координат в этом случае является состоянием равновесия. Однако мы получили эту картину на фазовой плоскости, исходя из заранее найденного решения (1.20). Мы могли бы получить эту же картину непосредственно из (1.16), не зная решения (1.20).
Заменим, как мы уже это делали, исходное уравнение второго порядка (1.16) двумя эквивалентными уравнениями первого порядка:
Деля одно уравнение на другое, получим дифференциальное уравнение интегральных кривых в виде:
Нетрудно видеть, что это уравнение, подобно уравнению (1.11), определяет на фазовой плоскости некоторое ноле касательных, а вместе с уравнением (1.33) — некоторое векторное поле с единственной особой точкой X = 0, у = 0.
Легко исследовать приближенно с помощью изоклин характер этого поля. Уравнение изоклины, для точек которой интегральные кривые имеют наклон х, напишется так:
=-2 hy-шіх.
(1.33)
dy_— 2 hy —
dx
(1.34)
—2 hy — wja:
X или у = а X,
У
где
а =
(1.35)
т.е. изоклины и в этом случае представляют собой прямые, проходящие через начало координат. Задав, например, достаточно большой ряд значений * (при фиксированных h и ш0, которые опреде- § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
37
ляются системой), получим семейство изоклин и с помощью их с нужной степенью точности сможем построить векторное поле1).
На рис. 23 изображено такое векторное поле, пост-роенное при помощи несколь- \ Jl
ких изоклин, и уже из этого чертежа можно предугадать характер интегральных кривых.
Полученное после исключения времени уравнение (1.34) допускает интегрирование,так как оно принадлежит к классу однородных уравнений.
Интегрируя по обычным пра-
' X
получим для нашего случая (Aa<^u>„) уравнение интегральных кривых:
у* + Ihxy -[- =
= Ce m 8 «« '
исследованием которого мы уже занимались2). Теперь мы это уравнение получили иным Рис. 23.
путем, не зная решения уравнения (1.16). Выражение фазовой скорости v находится из уравнений (1.13) и (1.33):
вилам
подстановка z
[vT
v = bj/ + j(—2Ау— ш»*)
= со'0х2 + 4hw20xy 4-(14- 4h*)y*
(1.36)
Мы видим при этом способе рассмотрения сразу, почти без всяких вычислений, что фазовая скорость нигде не обращается в нуль, за исключением начала координат х = 0, у = 0, но уменьшается по мере приближения представляющей точки к началу координат.
Что можно сказать о характере движений в нашей системе, зная характер интегральных кривых на фазовой плоскости и зная выражение для фазовой скорости?
') Заметим, что метод изоклин является не только методом приближенного Численного интегрирования, но и методом, с помощью которого можно строго доказывать различные утверждения, относящиеся к интегральным кривым.
8) Положительная постоянная интегрирования Cs в выражении (1.29) здесь обозначена через С. 58
