Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что затухающее колебательное движение характеризуется четырьмя величинами: условным периодом Г (или соответствующей условной угловой частотой io), логарифмическим декрементом затухания d, амплитудой К и фазой а.
Свойствами системы определяются условный период и логарифмический декремент затухания колебаний; произвольными остаются амплитуда и фаза, которые определяются начальными условиями.
2. Изображение затухающего осцилляторного процесса на фазовой плоскости. Перейдем теперь к исследованию фазовой плоскости рассматриваемой системы, к построению ее «портрета», отображающего всю совокупность возможных движений.
Зная решение дифференциального уравнения (1.16), можно найти уравнение семейства фазовых траекторий. Согласно (1.22) параметрические уравнения траекторий на фазовой плоскости х, у имеют вид
X = Ke~ht cos (io* -{- а),
у = X = — Ke ht [h cos (coif -j- а) io sin (tot -j- а)].
Покажем, что это —¦ семейство спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат.
Для этой цели воспользуемся линейным преобразованием координат— приемом, к которому мы и в дальнейшем будем неоднократно прибегать. Именно, перейдем от переменных х, у к переменным
и = ч>х, v=y Их, (1.27)
которые мы будем интерпретировать как декартовы координаты на другой плоскости (так называемая «активная» интерпретация преобразования координат1). Очевидно, если обозначить UtK = Cl, то
и = Cle~ht cos (оit -)- a), V = — Суё~м sin (wt -J- <*)•
«Активная» интерпретация преобразования координат состоит в том, что преобразование и = и (х, у), v — v (х, у) рассматривается как закон некоторого точечного преобразования плоскости х, у в другую плоскость с ортогональной (декартовой) системой координат u,v и соответствующей деформацией фигур.
Эта деформация фигур в нашем случае линейного и однородного преобразования (1.27) сводится к простому повороту и равномерным укорочениям или
J (1.26) § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
63
Еще более простой вид уравнения фазовых траекторий на плоскости и, V получают в полярных координатах р, ср (гг = р cos ср, v = р sin ср):
P = C1I? , ? = — + а).
или, исключив время,
р = Ce
(1.28)
(здесь C = C1I?"1 —новая произвольная постоянная).
Таким образом, на плоскости и, v фазовыми траекториями будет семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в
Рис. 20.
начале координат (рис. 20). При этом, поскольку ср убывает со временем, а р — 0 при t —* -{- со, изображающая точка, двигаясь по спиралям на плоскости и, v, асимптотически приближается к началу координат.
Перейдем обратно на плоскость х, у. Из (1.28), заметив, что P2 = гг2 г>2 = wV2 + (у + hxf =у2 + cIhxy + u>gxs,
, V , у + hx
ср = arc tg — = arc tg -=^lj-,
т 6ы ® ах '
удлинениям по двум так называемым главным осям. Нетрудно убедиться, что каждая прямая на плоскости х, у, проходящая через начало координат, преобразуется преобразованием (1.27) также в прямую, проходящую через начало координат, причем расстояния соответствующих точек на этих прямых до начал координат (соответственно плоскости х, у и плоскости и, v) пропорциональны друг другу. 64
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
получаем координатное уравнение (с исключенным временем) фазовых траекторий:
у + 2kxy + = с*е2 ± т * -z^ • (1-29)
Так как деформация фазовых траекторий при обратном преобразовании (от и, г» к х,у) не может изменить их качественного характера, то мы можем утверждать, что семейство фазовых траекторий (1.29) на плоскости х, у также является семейством спиралей с асимптотической точкой в начале координат.
Относительно характера этих спиралей можно заметить следующее. При малых ~ , т. е. малых логарифмических декрементах затухания, логарифмическая спираль (1.28) в течение каждого оборота
близка к соответствующему кругу K9 -f- U9 = const. Этот круг при линейном преобразовании (1.27) превращается в эллипс у* -)- Ihxy -f- (O3JC2 = = const. Отсюда мы можем заключить, что при малых
5 SShS
7
Рис. 22.
^ исследуемая нами спираль (1.29) близка на протяжении каждого
оборота к эллипсу (с соответствующим образом выбранным значением константы)
у* + Ihxy + (о3 дг2 == const. (1.30)
На рис. 21 изображено семейство исследуемых нами спиралей — фазовых траекторий на плоскости х, у. Изображающая точка, двигаясь по любой спирали, будет асимптотически (при t -*¦ -f- оо) приближаться к началу координат, являющемуся состоянием равновесия. Радиус-вектор изображающей точки будет уменьшаться (по длине) зз каждый оборот.
Подсчитаем величину этого уменьшения при полуобороте, обороте и т, д. Для этой цели проведем на плоскости х, у произволь- § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
55
ную прямую, проходящую через начало координат, и обозначим через г0, г1( г9, ... расстояния до начала координат точек пересечения некоторой спирали (1.29) с проведенной прямой (рис. 22). При преобразовании (1.27) проведенная прямая вместе с точками пересечения преобразуется также в прямую, проходящую через начало координат, причем, как мы указывали выше,
