Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
тхЬх-{-kx = 0, (1.14)
где т мало, но отлично от нуля, с решением уравнения первого порядка (1.47). Задаваясь начальными условиями t = 0, jcr = jcr0, X = Xq, имеем, согласно (1.40), решение в виде:
x = x0 [-^-е-чi'--^---^-(1>51)
L Qi— Qi Q» — Qi J Qa — Qi
где
__Ь__-./" bа____Ь__ . -if __
qx — 2т У 4т' т ' 2т "+" \ 4т» т '
Для удобства сопоставления заменим точное решение (1.51) уравнения (1.14) приближенным решением xt (t), таким, что разность между Xi (t) и х (t) и их производными X1 и X могла быть сделана сколь угодно малой (равномерно относительно t) за счет выбора достаточно малого т.
Пользуясь разложением корня
¦i /" b1__ft_ b -і / 4km _ Ь f 2km . \
У 414і m' ~ 2m V b3 ~ 2m \ b2 'J >
без труда получаем:
хЛі) = х0[е-^' -f-e-^' ]+;, ¦» [ГТ' ]. (1.52)
Можно показать, что это приближенное решение аппроксимирует точное решение в том смысле, что, сколь бы ни было мало е, всегда можно найти столь малое т, что
|jf,(0 —*(0|<е, I -Jt (О I о для всех значений t в интервале 0 =? t =? 00 ')•
') Заметим, что эти неравенства не могут быть заменены неравенствами
вида
< ' I *«)
пригодными для всех значений t, если т достаточно мало. Однако на вся- 72
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
Сравним теперь (1.48) и (1.52). Обозначая решение уравнения первого порядка через х и принимая, что начальные значения координаты для решений полного уравнения ') и уравнения первого порядка совпадают, имеем:
X1 (0 - X (0 = * { - (х0 + |х0) Г ? '+х0Г ~ь '} (1.53)
и для скоростей
b k
x1 it) - Іс (t)= (х0 + Ix0) <Г m .v1, г * ' . (1.54)
Так как сейчас мы рассматриваем только те движения, которые начинаются из состояний, совместных (с некоторой степенью точности)
?
с уравнением (1.47), т. е. для которых х0х0 = 0 или близко к нулю, то, как это сразу видно из соотношений (1.53) и (1.54), разности x1 (/) — x(t) и x1 (t) — х (/), а следовательно и разности x (/) — x (/) и x (/) — x (/), могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет выбора достаточно малого т и притом равномерно относительно t (для всех 0 =? t -)- оо). Условием близости решений (1.48) и (1.51), очевидно, является выполнение неравенства:
mk ^ . Ь2
Si <1, или т<Т •
Иными словами, если начальное состояние системы совместно с уравнением первого порядка (1.47) (или близко к состоянию, совместному с этим уравнением), то последнее достаточно точно (тем точнее, чем меньше масса) отображает движение осциллятора с малой массой. Учет массы в этом случае дает лишь небольшие количественные поправки, не давая ничего существенно нового; масса осциллятора, если она достаточно мала, не является существенным параметром, и
представление осциллятора с малой массой ^m ) в виде системы
С Y2 степени свободы, в виде системы без массы, является вполне целесообразным.
2. Начальные условия и идеализация. Рассмотрим теперь случай, когда начальное состояние осциллятора с малой массой (заданы X0 и х0) не совместно с уравнением первого порядка (1.47), т. е.
когда X0 -ф—*-х0 и, следовательно, х0-|--|-х0 не мало. В этом
случае мы, конечно, не можем ожидать, что уравнение первого по-
ком сколь угодно большом заданном промежутке значений t можно добиться соблюдения неравенств (а), выбрав достаточно малое т.
') Полной системой, полным уравнением мы будем называть здесь ради сокращения осциллятор с учтенной массой и его уравнение. § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
73
рядка будет адекватно отображать весь процесс движения такого осциллятора, так как это уравнение заведомо не применимо в начальный момент времени. Изучение таких движений осциллятора с малой массой, несмотря на малость последней (масса может быть сколь угодно малой), мы должны вести, пользуясь уравнением второго порядка (1.14), с которым заданные начальные условия совместны.
Для исследования особенностей движений осциллятора с малой массой в рассматриваемом сейчас случае сравним решение уравнения (1.14) в его приближенной форме (1.52) с решением уравнения первого порядка. Обращаясь к (1.53), мы видим, что по-прежнему разность X1(Z1)-X(Zt), а значит и x(t)— x(t), может быть сделана сколь угодно малой для всех 0 =? t -{-00 33 счет выбора доста-
. , k
точно малого т, несмотря на то, что теперь X0 -{- у X0 не мало.
Однако нетрудно заметить, что для скоростей ситуация будет иной. Действительно, согласно (1.54) разность X1(Z) — х(*) при малом
фиксированном т и малых t [при 2l^yj близка к X0 у X0 (это
i. k \
вполне понятно, так как х (O) = X0 и х(0) = — уХ01. Эта величина не зависит от т, и мы не можем сделать ее малой, выбирая малое т. Но, исследуя структуру выражения (1.54) и обращая вии-
-Lt
мание на быстрое уменьшение е т при фиксированном Z1 0 и уменьшающемся т, приходим к следующему заключению: выбором достаточно малого т всегда можно добиться для всех t, начиная с некоторого, сколь угодно малого, но определенного момента х 0 (для всех X t -j- оо), выполнения неравенства
I X1(O-XO1)Ke или IX(Z1)-X(Z1)Ks
(здесь, как и раньше, є — любая наперед заданная сколь угодно малая положительная величина).
