Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно видеть, что «время возвращения», или, иначе, период движения, является конечным. Действительно, длина нашего эллипса конечна; с другой стороны, фазовая скорость при движении по эллипсу нигде не приближается к нулю (так как она равна нулю только в начале координат, а наши эллипсы не проходят через начало координат). Поэтому изображающая точка • обходит весь эллипс в конечное время, т. е. период процесса конечен.
Во-вторых, мы утверждаем, что выродившаяся траектория х = 0, у = О, или, иначе, особая точка х = 0, у = 0, соответствует состоянию равновесия. Действительно, фазовая скорость для точки л: = 0, у = = 0 равна нулю; изображающая точка, находящаяся в исходный момент в начале координат, там и останется, если какие-либо случайные отклонения и толчки не выведут изображающую точку из точки л: = 0, у = 0.
Вообще состояниям равновесия соответствуют такие точки фазовой плоскости, для которых одновременно ^ = O и = 0. Это нетрудно понять и из физических соображений. Например, для меха-dx п
нического случая = 0 говорит о том, что скорость равна нулю, а
j-- =0 указывает, что ускорение или, что все равно, сила равны нулю.
Вообще говоря, состояниям равновесия динамической системы соответствуют на фазовой плоскости особые точки уравнения интегральных кривых и, обратно, особые точки соответствуют состояниям равновесия *).
Таким образом, не зная еще возможных движений с количественной стороны, мы знаем качественную характеристику возможных движений. Результаты качественного исследования линейной системы без трения (гармонического осциллятора) могут быть сформулированы
') Рассмотрим динамическую систему, отображаемую уравнениями =
с= Р(х,у), -^j- = Q (х,у). Если P(х, у) и Q(x, у) имеют общий множитель, обращающийся в нуль, то могут быть состояния равновесия, не являющиеся
dy Q (х, у) с особыми точками уравнения интегральных кривых = р ^ . Если
P (х, у) и Q (X, у) имеют общий множитель, обращающийся в бесконечность в особых точках уравнения интегральных кривых, то эти особые точки могут не быть состояниями равновесия. § 3]
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
45
таким образом: такая система при любых начальных условиях совершает периодические движения вокруг состояния равновесия X = 0, у = 0, за исключением того единственного случая, когда начальные условия как раз соответствуют состоянию равновесия.
Интуитивно мы себе представляем смысл слов «устойчивость состояния равновесия». Однако такого интуитивного представления, конечно, недостаточно, и нужно, чтобы оно превратилось в строгое понятие, которым мы сможем воспользоваться в дальнейшем.
Начнем наше рассмотрение с простейшего примера: представим себе математический маятник без трения (рис. 15). Очевидно, что возможны два состояния равновесия маятника: 1) когда мы его помещаем, не сообщая начальной скорости, в самую нижнюю точку а; 2) когда мы его помещаем, опять-та-ки не сообщая скорости, в самую верхнюю точку b. | Очевидно также, что нижнее состояние равновесия устой- [ чивое, верхнее — неустойчивое. Действительно, если маят- I ник находится в точке Ь, то достаточно сколь угодно ' малого толчка (если даже предположить, что маятник , сначала точно находился в точке Ь), чтобы маятник на- | чал двигаться с возрастающей скоростью от точки b і и ушел из непосредственной близости к этой точке. Иначе будет вести себя маятник, покоящийся в точке а. Получив толчок, он начнет двигаться с уменьшающейся скоростью, причем чем меньше будет толчок, тем на меньшее расстояние он отойдет от точки а, а затем повернет обратно и будет колебаться вокруг точки а. При достаточно малом толчке маятник не выйдет из любой заданной области вокруг точки а и скорость его не превзой-
Исходя из этого примера, мы попытаемся дать определение устойчивости СОСТОЯНИЯ равновесия, используя ДЛЯ рис 15 этой цели уже введенное нами представление о фазовой плоскости. Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка на фазовой плоскости находится в неподвижности в одной из особых точек уравнения интегральных кривых. Если теперь мы выведем нашу систему из состояния равновесия, сообщив ей, например, некоторый толчок 1), то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости. «Выкрасим» для краткости речи
1J В теории устойчивости обычно рассматриваются «мгновенные» толчки, роль которых сводится к мгновенному смещению изображающей точки на фазовой плоскости, т. е., иначе говоря, к мгновенному изменению начальных условий. Конечно, это идеализация реальных толчков.
§ 3. Устойчивость состояния равновесия
дет любой заданной величины. 46
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТВМЫ
[гл. I
изображающую точку в черный цвет, особую же точку оставим светлой (рис. 16). Мы можем тогда охарактеризовать устойчивое состояние равновесия таким образом: если при достаточно малом начальном смещении черная точка никогда не уйдет далеко от светлой, то светлая точка является устойчивым состоянием равновесия').
Ясно, что и эта характеристика неполна. Bo-__* первых, назовем ли мы светлую точку устойчивой, если черная точка не уходит далеко при начальных смещениях в одних направлениях и уходит далеко, как бы мало мы ни сместили ее в других направлениях? Очевидно, что Рис. 16. такая светлая точка не будет устойчивой; она, так сказать, лишь «условно» устойчива, при запрещении некоторого класса смещений. Нужно требовать, чтобы черная точка не уходила далеко от светлой в результате достаточно малого смещения в любом направлении.
