Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 27.
пересечения C прямой у:
ЧіЯі
<С Я\ ; 2) кривые
Чі + Чі \ЧІ + ч%
семейства имеют вертикальные касательные в точках пересечения с осью jc; 3) наклон кривых, пересекающих ось х, монотонно увеличивается на участке от состояния равновесия до оси х и меняется от — ^rI до -f- оо; 4) кривые семейства имеют параболические бесконечные ветви с осями, параллельными прямой у = — я*х (ПРИ
уходе в бесконечность наклон кривых ^ — кривых изображено на рис. 28.
Это семейство
i\ т v" а (а — 1)
*) Так как -— =—і--
V u2 64
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
Подобно предыдущему случаю мы можем и в этом случае прийти к полученным результатам, не интегрируя дифференциального уравнения (1.16), а заменяя это уравнение второго порядка двумя эквивалентными уравнениями первого порядка и исключая из них время. Мы получим то же уравнение интегральных кривых, как и в предыдущем случае:
ay 2hy — ^134-.
dx у \ • J
Единственная особая точка этого семейства кривых есть точка лг = 0, Jr = 0, соответствующая состоянию равновесия системы. Изо-
клины и в этом случае будут прямыми, определенными уравнениями (1.35). Но так как в рассматриваемом случае A2 и>о, то расположение изоклин будет несколько иным (рис. 29). В рассматриваемом случае имеются две прямолинейные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Для их отыскания подставим уравне- § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
65
ние прямой у = $х в уравнение интегральных кривых (1.34). Тогда для углового коэффициента ? прямоугольной интегральной кривой получим уравнение -j-wjj = О, совпадающее с характери-
стическим (1.18). В нашем случае оно имеет действительные корни:
h = — 4u Pi = - Чъ т. е. интегральными кривыми будут прямые y==—qxx, y = — q^x. Это сразу исключает существование спиральных фазовых траекторий, охватывающих начало координат, и, следовательно, существование осцилля-торно затухающих движений в системе.
Точно так же при интегрировании уравнения (1.34) подстановкой
г = мы получим (вследствие того, что A2 шо) результат, отличный от предыдущего случая, именно уравнение семейства интегральных кривых «параболического типа»:
j'2 -f Ihxy -j- W20X2 =C
или
(У-f-C1 О+ (1.45)
где q\=h — Yh* — и ^a = h J- ^hi — ш§, т. е. то же уравнение, которое было нами выше получено иным путем (исключением t из решений исходного дифференциального уравнения).
Направление'движения представляющей точки определяется с помощью тех же соображений, что и в предыдущих случаях, именно из условия, что при у = х^> 0 значение х должно возрастать. Так как тангенс угла касательной к интегральной кривой с осью Jc изменяет знак только один раз при пересечении с осью jc, то сразу видно, что представляющая точка будет двигаться по интегральным кривым в направлениях, указанных на рис. 28 стрелками, т. е.
3 Теория колебаний
- + А — Yh2
+ft + Yh*~-
Yh1 6 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
всегда будет приближаться к началу координат. Скорость движения представляющей точки, как и в предыдущих случаях, обращается в нуль только там, где одновременно л- = 0 Hj)= О, т. е. в особой точке рассматриваемого дифференциального уравнения.
Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Cx"(а0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы h было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость).
Рассмотрим несколько подробнее физические черты трех типов апериодических движений, изображенных на рис. 26. Прежде всего, если начальная скорость и начальное отклонение одного знака (т. е. если представляющая точка лежит в области / на рис. 25), то система сначала будет удаляться от положения равновесия, причем скорость ее будет постепенно убывать (начальная кинетическая энергия расходуется на увеличение потенциальной энергии и на преодоление трения). Когда скорость падает до нуля (точка система начнет двигаться назад к положению равновесия, причем сначала скорость будет возрастать, так как восстанавливающая сила больше силы трения. Но при движении сила трения возрастает (так как скорость возрастает), а восстанавливающая сила убывает (так как система приближается к положению равновесия), и, следовательно, начиная с какого-то момента (точка Zs на рис. 26, /), скорость, § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 67
