Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
5./= Е/т^(г)У/т(0,ф).
184 6. Сечение а\ = с — сфера радиуса Vl-c2 , соответствует сопряженным, с одинаковым следом, матрицам (и вращениям на углы a, cos(a/2) = Vl-c2 ).
9. Если r\ = Dki tj, то Г(г- = = EikDkielm^m = Dim*^m. (Знаки суммирования опущены.)
, , , \ / ± т + 1 / , , , , , , \ _ j + т
- ;/+w
і У
12. Матрица D^ вещественна на функциях (Рц,Pim,..., У/0,...,Qim,Qu), где матрица перехода S определяется соотношениями
(Plm ' Qlm ) - (Xlm ' ^l-т )
1 2
1
- г
DM=Sf1DWs1,
(-1)" /С-1)" ЗД =(-1)'
13. LlI = Ab2, §2 = Abi, ^i = Aa2, где А = 2arccosai/V(l-ai2) (ср.(4.20)).
15 .а) При нечетных перестановках строк и столбцов Kj умножается на (-1)J, при транспонировании не меняется, б) Рассмотреть спиноры (ui,u2), (vi,v2), (WhW2) и положить из = Уз = W3 = 1. в) В новых обозначениях З/'-символ обладает всеми свойствами симметрии символа Kj. Часть из них приводит к соотношениям (4.38); транспонирование Kj дает:
2 Ul + Jl+Щ) 2 Ul + Jl - Щ ) Уз
\l2 Ui -Іх+Щ-^і) j Ui - Ji - W1 + W2) J\ - j2
ft І і \ f 1 Jl Jl J з
Vw1 W2 W3 у
(_ J)а+Ь+с
и т.д. (см., например, Ландау и Лифшиц, 1963).
(2b - 1)(2с - 1)
(-1 )b+c+d+f (ab с 18' (2с - 1)(2/ - 1) je d Д
20. С(ф)—> Cimtv, т — полуцелое; двойная группа Dq0(QcCq0v) состоит из матриц с(ф), с2у\ q и их произведений, "нечетные" НП — двумерные D(m> с полуцелым т.
21. D2 имеет одно двузначное двумерное НП с %(е) = -%(q) = 2, остальные %(с) = 0. D2d и D4 изоморфны, имеют по два двумерных двузначных НП с %(е) = -%(q) = 2, х(с4) = -Х(с43) = %(c43q) = ~і(сщ) = ±V2, остальные характеры — нули.
185 Раздел 4.
1. Тензор ущ преобразуется по представлению ортогональной группы D х
содержит один инвариант группы Td. В кубических осях инвариантный тензор пропорционален следующему: ехеуе2+ехе2еу+еуехе2 + еуе2ех+е2ехеу
+CzCyCx-
2. C3y: возможны 3 типа слоев — 1 атом на оси Сз, 3 атома на плоскостях симметрии, 6 атомов, занимающих общее положение. U3d: 5 типов — 1 атом в центре симметрии, 2 атома на оси Сз, равноудаленных от центра, 6 атомов на плоскостях симметрии, 6 атомов на осях второго порядка, 12 атомов в общих положениях.
3. Пусть Gi — энергия взаимодействия центрального атома X с атомом Y, G2 — энергия взаимодействия соседних атомов Y, G3(YI5Y4) = 0. Тогда A2 = -G\ "(r) (r — равновесное
расстояние X - Y), к2 = -Gi7R, h = ~2к2 - 4к3, к6 = к7 = 0, к% = -G2"/2 - G2'/2i?V2, к4 =
-к2 - 4к%, к9 = ки = -G2"/2 + G2'/2R Jl, kw = -G2VRyfl, к5 = -к3 -2кь -2kw, так что,
например, CO2(Tig) = Gi"(R) + 4G2'(r42 уR Jl.
При этом Gi'+2
л/2 G2 = 0 из условия
минимума энергии в равновесной конфигурации.
4. Колебательное представление молекулы XY4 (см. рис.) расщепляется на
неприводимые так: Гкол = Гі+Гз+2Г4, где T4 -векторное представление группы Td. Обозначим Ri = х\ + y\ +zb r2 = -x2-y2 +z2, r3 = xti-yti-zt,, і?4 = -x4+y4-z4 (смещения атомов Y от центра). Тогда ненормированные симметрические координаты молекулы следующие: Гь Q1 = r,+r2+r2+r4, Г3: Q2 = 3(Z1 +z2-z2-z4)-r,-r2-r2-r4, Q3 = x +x-x-x4- v1 - y4+ v2+v4, 4т
Г4: Q4 = X]+X2+X2+X4--Xq, Q5, Q6 получаются заменой Хна Y и Z,
M
t4': qi = v] +z]+v2-z2- v2-z2- y4+z4, q&= X]+Z]+X2-Z2-Xt,+ZT,-X4~Z4, q9=x1+y1-x2-y2-x3+y3+x4-y4.
5. [AgIg2 )/](*) = f{g~2[ёхХх) = [b(g2 )фї1х) = [Dig! )D(g2 )/](*).
6. xcosa+ysina, x2cos2a+y2sin2a+xysin2a; sinx —> sin(xcosa+ysina),
> У
186 f(t) = ?/(r), (df)(t) = cosa?/(g"1!-) + sina^/Cg-V).
7. X2 =I(X2 + у2 + Z2Xr1 ] + I(2x2 - у2 -Z2Xr3].
8. Нет; например, ?r) = х2+у4 порождает пятимерное представление О, распадающееся в Г1+2Г3.
9. См. приложение.
10. O3XPn. 13. 0.
15. Гі Г4, <-> Г5, Г3 Г4,Г5, Г4 Г4,Г5; для электрических переходов — между состояниями разной четности, для магнитных — одинаковой.
16. а) Г4 = rt3+rt2; Г5 = Гй+Ги (четности уровней не меняются), б) Г3=Ггі+ГГ2, Г4,Г5=ГГ2+ГГЗ+ГГ4 (искажение вдоль кубических осей x,y,z).
17. rYs = Г1+Г4, Гур = Гі+Г3+2Г4+Г5. Некоторые из МО: V|/Si(r4) = S1+S3-S2-S4, ^1(^4) = ^1+^4-?-?, V[/Si (Г4) = S1+S2-S3-S4. МО типов Гь Г3, Г4 из атомных /»-орбиталей составляются подобно симметрическим координатам задачи 4, типа Г5 - подобно вращательным координатам молекулы.
18. D{2) = Г3+Г5, D(3) = Г2+Г4+Г5, D(4) = Г1+Г3+Г4+Г5, D(5/2) = Г7+Г8, D(7/2) = Г6+Г7+Г8.
19. Таблицы функций приведены, например, в книге Абрагама и Блини (1973).
20.7(/+1)-
21. Инварианты тетрагональных групп составляются из функций Yjlо, У4+4, У5+4, 7б±4. Четный кристаллический потенциал для групп U2d, C4V, D4, D4h:
B20Y20 + В 40 У40 + 544(744 + Y^) + Beo Yeo + B(,4(Y(,4 + ^6-4).
Нечетный потенциал для группы C4V: 5ю7ю + Дзо^зо + BsoYso + ?54(754-F5^), для группы D4: B54'(Y54+Y^).
22. O40 = 35Jz4-30J(J+1 )JZ2+25JZ2-6J(J+ 1 )+3 J2 (J+1 )2,
O42 = 2 [(7Jz2-J(J+1)-5)(J+2+X2)]+, O43 = \ [Л(Л3+Х3)]+, O44 = \ (Л4+X4) (знак + при скобках означает антикоммутатор).
Раздел 5.
1. 0 = UK, где UxlJ(P) = М-р).
3. D(Q2) = ±1 = D(Q)D*(Q) = D(Q) D (0)"1.
187 5. НКП группы ЄЄ«; содержит г{т)+г{~т) (т Ф 0; третий тип НКП). НКП группы GD00 относятся к первому типу.
