Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
6. Два последних — Т-четные.
7. Нет; нет; да (см. Абрагам и Блини, 1973).
Раздел 6.
1. Представить ta в виде ta \ta± и учесть (6.2).
2. taS(n,(p) = 5"(и',ф), п' определяется как в (6.2), ст' = ta||/2cj.
3. t Jo = Io', где О' получается сдвигом О на аН.
5. По' = |«і'(а2'х«з')І = = Oo|Dca,y| > Qo (Ki - целые числа)
6. Согласно результатам 1—3, любое точечное преобразование с центром на междоузлии О' можно записать в виде Го'= taro, где О — узел и, очевидно, а — вектор решетки. Тогда г о — преобразование симметрии и является элементом сингонии.
7. Рис. d) и е) на стр.98 дают картину узлов в плоскости, перпендикулярной оси С„сл=3,4,6. Через проекцию базисного вектора на эту плоскость опять должна проходить ось Cn, поэтому эта проекция попадает либо на узел в плоскости, либо в центр правильного треугольника (d) или квадрата (е). Во всех случаях отражение в плоскости, проходящей через a\(?2) и ось Cn, является преобразованием симметрии решетки.
8. C6v —> C2v —> C2, C4v —> C2v —> C2.
10. Существует три группы класса C2: Pl, Р1\, В2\ четыре — Cs: Pm, Pb, Вт, Bb; и шесть - C2h: Plfm, Pli/m, ВИт, Plfb, PlxIb, BHb.
11. b\ = 27га2х(а1ха2)/|аіха2|2, A2 = 27Шіх(а2хаі)/|аіха2|2, типы прямой и обратной решетки совпадают.
12. Для решеток сингонии C2 имеются два вида зон Бриллюэна (параллелограм и шестиугольник).
16. Множества кі+кі''; к і+к/, {-А}.
18. Группа Сзь имеет только один класс фактор-систем, группы C2h, C4h, Свь — два. Существует одно двумерное НП второго класса группы С2h, два — C4h и три — Сбь
19. 2у(к"к')а =W3Sk5k4b, 2ук(а-а'> =A^3Saa,.
а к
20. Всего имеется 21 двухцветная группа.
188 Раздел 7.
1. q\p\ = qip2^>q\~lqi =p\piX = e.
2. p, = с2(e) = Eac(cTl)c(a).
2 2
3. Если e = Є1+Є2, то ее\е=е\ =Xe в силу Є\Є2 = 0 и схс ~ с. Отсюда Xe = е\ = е\ =Xe, т.е., X = X, X = 0,1, так что е = е+0 = 0+е единственно возможные разложения е.
4. ее = с, т.к. CrC = rcr~x= =rXc, X = (cr~lc)(ej = Eac{a)c{ra~l) = c2(r) = \xc{r), т.е., CrC =
2 2 2 \ic(r)rc. Суммируя по г и разделив на р , получаем ее = с /р = с. Отсюда ecr = сг, и е = е.
6.
(1') (12) (3) [3] 1 11
Гі
3 1 0 F1+T3 6 0 0 Т1+Т2+2Т3
7. 2х[422]+2х[44]+2х[62Ч[332Ч[611];-1 ll.X[n"1'n](lV0 = v-l
14. Базисные вектора:
[21] [I3]
Z1Z2^ Z1Z2Z3
Yl
П
П
15 ?2
5V3
(n + l)E^ -E^ -E^
v 7 1I 1I 1I
+ 5?2
{п+ЩЮ-ею-ЕЮ
zI zI
TPfiSpWeu^ =S1-,,-, 1 Ey
Ч121Ъ
1 ^ j*l,k.
lllk n ij
15. XS,D,F,G,I) (v = 3), 2F (v = 1), \P,2D,F.2G.2H,I,J,K) (v = 3) 16.14S,0,3/2) = |l+0+-l+| ~ [(10-1)-(01-1)-(-101)-(1-10)+(0-11)+(-110)]-(+++), Рд2,1/2) = |1+Г0+| ~ [(110)-(011)][2(+-+)-(++-)-(-++)] - [2(101)-(110)-(011)][(++-)-(-++)], \2P,\,\H) = (|ГГ-Г|-|1+0"0+|)/л/2 ~ [(11-1)-(-111 )+(001)-(100)][2(+-+)-(++-)-(-++)]-[2(1-11)-(11-1)-(-111) +2(010)-( 100)-(001)] [(++-)-(-++)].
Раздел 8.
3. deteX = Iim ^detexfn J" = lim[det(l + ^)]" = lim(l + * SpxJ.
6. A1 - чисто мнимые; A0 = A°*X, Ai = -Ai*X, X = detA = eia 8. ? = ay*+?8*, d~2
I2 + |5|2.
189 а)
fl (П . і
A1i = -
О
И}
J
(J0)2+ A2
b)-IAiAj +IiEijkAk
9< Ъ) A? = A0 + AA*, A0j = A0Aj * +A0 * Aj + гєд/* А1, 4 = А°А1'*+А°*А' + ієшАкА1*, Aj = J°|2-AA
+ (A1 *AJ +AJ*Al)+i?ijk(A°Ak *-Аи*Ая)
,0
Al(|a|2+|?|2+|y|2+|5|2) Re(ct?*+y8*) Im(ct?*+y8*) l(|a|2+|y|2-|?|2-|8|2)^
11.
Re(ay*+?8*) -Im(aY*+?8*)
Re(a8*+?y*) bn(a8*-?y*) Re(ay*-?8*) -bn(ct8*+?y*) Re(a8*-?y*) -Im(ay*-?8*)
vl(|a|2+|?|2-|y|2-|5|2) Re(a?*-y8*) Im(ct?*-y8*) 1 (|cx |2 +|S|2 -|?|2 -|y |2)
Л = h(b)u(t,) =
12.
1 ъ Ф b . ф
cosh cos - z(nn ) smh sin 2 2 2 2
ub ф • . ub-v t n ¦ ub ¦ ф
n sinh cos--m cosh — sin--гГп x n 1 smh sm
V 2 2 2 2 2 2/
Ґ 2 2 Л
n'x+(l-n'x) COStp H1xHVy (l-COSCp)-H'z sin ф л'гл'7(1-С08ф)+л'у8ІПф
13.
<
2 2
fl' rfl' 7(l—C0S(p)—fl' у Sin ф fl' у fl' z (1—СОвф)+/?'^. Sin ф n'z+(I-Il1z) СОБф
2 2
n' ^Il' y(l—COS(p)+n' z Sin ф п' у +(1—/j'^) СОвф л'^л'г(1-С08ф)-л'г81Пф
V X z
ґ coshZ)
n „ sinhZ)
ny sinhZ)
n „ sinhZ)
nx sinhZ) 1 + nx (coshb - 1) nxny (coshb - 1) nxnz (coshb - 1)
ny sinhb nxny (coshb - 1) 1 + ny (coshb - 1) nynz (coshb - 1)
о
nz sinhZ) nxnz(coshb- 1) n nz(coshb - 1) 1 + nz (coshZ) - 1),
14. b°=ja° -ja1 coth I, b1 = ja' -ja0 cothf.
15. B(Jl/2\ (A) = Dijl) (A)Dij'2) * (Л), DiJ) дается формулой (4.25),
W1W2 ,W1W2 v J W1W14 J ITl2 In2 mm ^fJ V ),
где следует заменить а* на 8, (-?*) на у. 17. Ai = ст,/2, Bi = О для спиноров первого рода Ai = 0, Bi = -ст,*/2 для пунктирных спиноров
19. J3, N1-J2, -Jx -N2;
[Ji+N2, J2-N1] = О, [J3, Ji+Щ = I(J2-N1), [J3, J2-M] = - i(Ji+N2)
190 Jffi = - J3, w* = - J3, W1 = - Ji - N2, Jf = Ni - J2 на состояниях \p0,Q Jf = -J3, JVs = -J3, JV1 = кг, W1 = ki, W2=-к2.
Раздел 9.
1.fabc приведены в (9.9); й?118 = й?228 = <^338 = _й?888 = ^3 I
^146 = ^157 = -^247 = d256 = ^344 = ^355 = _й?366 = _й?377 = \ '¦>
^448 = ^558 = ^668 = ^778 = ~ ^ •
2. Указание: применить тождества
