Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
(24, 423,2З,42)^1
v"
1 л/3
л/3 1
Отметим, что эти матрицы осуществляют точное представление группы D3, изоморфной фактор-группе OfD2-
Выпишем еще вещественные матрицы НП Г4; их можно получить подстановкой углов Эйлера из таблицы 1 в формулу (4.3), т.е., это матрицы, построенные на функциях X, у, z. Матрицы НП Г5 получаются умножением последних двенадцати матриц НП Г4 на (-1).
176Таблица 4. Матрицы НП Г4 группы октаэдра
422 4з2 Зі2 з22
'10 O^ 0-1 0 to 0 -Xj '-IO 0N 0 1 0 Io 0 -lj '-I 0 О4] 0 -10 Io ox) '0 1 О4] 0 0 1 U о о) ' 0 1 0' 0 0-1 1-10 0 J
Зз 34 Зі 34 32
' 0 - 1 On 0 0 1 1-1 0 oj '0-1 0N 0 0-1 UO 0 J '0 0 х\ X 0 0 Io 1 о) ' о on -10 0 Io -X 0) '0 0 - г 1 0 0 Io-I oj
Зз 22 4з 4з 2i
' 0 0 - Г\ -10 0 Io 1 о) ' 0 -1 0' -10 0 Io 0-lJ '0 -1 О4] 1 0 0 Io 0 X) ' 0 1 О4] -10 0 I о 0 X) '0 1 (П 1 0 0 Io 0 -Xj
2б 25 4i 4i 24
'-10 0' 0 0-1 Io -1 о) '-I 0 0' 0 0 1 I 0 1 oj '10 0' 0 0-1 Io 1 0 J '1 0 О4] 0 0 1 [о -X о) '0 0-Л 0-10 1-10 0 J
42 2з 42
'0 0 -Г 0 1 0 U 0 0 J '0 0 г 0-10 U о oj ' 0 0 г 0 1 0 1-1 0 oj
Комплексные матрицы НП Г4 (а вместе с ними и матрицы НП Г5) можно получить подстановкой соответствующих параметров Кэли-Клейна в следующую матрицу:
177
а
- V2a? ?
*2
V2a?
I I2 IqI2
IaI ~~ |?|
- л/2 a * ? !
V2a*?
a
Матрицы двузначного представления Гб — это "матрицы-повороты", приведенные в шестой колонке таблицы 1 своей первой строчкой; фактически это двойная группа октаэдра. Представление Г7 получается отсюда умножением элементов 13 — 24 на (-1). Наконец, матрицы НП Г8 можно получить подстановкой соответствующих параметров (a, ?) в матрицу:
?(3,2)(a,?) =
a"
V3a2?
V3a?:
-V3a2?* a(l-3|?|2) -?(l-3|a|2) V3a*?2 V3a?*2 ? * (1 - 3|a|2) a * (1 - 3|?|2) л/За *2 ?
*з
л/За *?
V3a *2 ? * а *"
Переход от тетрагональных к тригональным осям
Переход от системы координат, в которой оси X, у, Z ориентированы вдоль осей четвертого порядка куба к тригональной системе, в которой ось z направлена вдоль оси третьего порядка [111] (см. рис.), осуществляется поворотом с углами Эйлера
(— 7i,arctan ,0). Отметим, что aretan = arccos-^ = aresin, — . Матрица перехода 4 V З V 3
(S) следующая:
(бх'э Cy', ez') (бх, Єу, ez)
1 1 1
л/б "72 7з
1 1 і
л/б 72 ТІ
0 і
~Тъ 7з-
соответствующая матрица-поворот :
1 -in/S
2л/3
1
і4ь
I
V ЛІ 2
1 in/8 Є
і4ь
1 от/8 Є
і4ь
178Матрицы операторов в тригоиальных осях, D', связаны с матрицами в тетрагональных осях, D, соотношением D' = ST1DS.
Таблица 5. Список элементов группы D^
Ms С ось (фь 0, Cp2) (а, ?) CI
1 е [0 0 1] (0 0 0) (1 0) I
2 6 [0 0 1] (|тс0 0) (v* 0) 6
3 б2 [0 0 1] (|тс0 0) (v*2 0) 3
4 б3 [0 0 1] (71 0 0) (-І 0) 2 = m
5 б4 [0 0 1] (|тс0 0) (-V2 0) 3 2
6 б5 [0 0 1] (|тс0 0) (-V 0) б5
7 2з [ОЮ] (0 71 0) (0 -і) /Из
8 22 [-1 л/з о] (^Tt 71 0) (0 -V*) ГП2
9 2i [л/з -1 0] (|тстс0) (0 -V*2) m\
10 26 [10 0] (тс TC 0) (0 0 me
11 25 [л/з 1 0] (^TC TC 0) (0 V2) ms
12 24 [і л/з о] (|тс TC 0) (0 V) m4
На рисунке указано расположение осей второго порядка. В таблицах 1 и 5 использованы обозначения:
CT = Є
in/4
= -^(1 + 0, C^1=CT
ст2 = і:
in/6
= 1(л/3 + 0, V2 = 1(-1 +^3), V"1 =v*,V3 =і
179Таблица (6) умножения поворотов группы D6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 1* 8 9 10 11 12 7*
3 4 5 6 1* 2* 9 10 11 12 7* 8*
4 5 6 1* 2* 3* 10 11 12 7* 8* 9*
5 6 1* 2* 3* 4* 11 12 7* 8* 9* 10*
6 1* 2* 3* 4* 5* 12 7* 8* д* 10* 11*
7 12* 11* 10* 9* 8* 1* 6 5 4 3 2
8 7 12* 11* 10* д* 2* 1* 6 5 4 3
9 8 7 12* 11* 10* 3* 2* 1* 6 5 4
10 9 8 7 12* 11* 4* 3* 2* 1* 6 5
11 10 9 8 7 12* 5* 4* 3* 2* 1* 6
12 11 10 9 8 7 6* 5* 4* 3* 2* 1*
Таблицы 7. Характеры НП группы D6
D6 E 2С6 2С62 Ce 3 U2 3 U2'
Гі 1 1 1 1 1
г2 1 1 1 1 -1 -1
Г3 1 -1 1 -1 1 -1
г4 1 -1 1 -1 -1 1
г5 2 1 -1 -2 0 0
г6 2 -1 -1 2 0 0
Двузначные НП (нечетные НП двойной группы De)
de е е* 6,б5* 6*,6і 3,32* з*,з2 6і,6і* 2,2* 2',2'*
г7 2 -2 -л/3 1 -1 0 0 0
г8 2 -2 -л/3 1 -1 0 0 0
г9 2 -2 0 0 -2 2 0 0 0
180Матрицы НП группы D6
Г6: (е,63)->
(1 0\ U V
, (6,64) -> I
(23,2б) ->
(1 0) U -lj
, (22,25) -> I
'-і S -S -\)
-і -S -S і ,
(62,65) I
(2ь24) -> I
-1 — л/3 vV3 -Iy
' 1 S4
л/з і.
V
Знаки матриц, отвечающих элементам 2i — 26, можно изменить, ибо Г^хГг = Г6.
3 5
Матрицы НП Г5 получаются отсюда изменением знака матриц элементов 6 , 6, 6 , 2з, 2i, 25.
Матрицы НП Г7 — это двойная группа для D6; они указаны в пятой колонке списка группы. Матрицы НП Г§ можно получить из матриц НП Г7, если учесть, что Г8=Г7хГз (или Г7хГ4).
Матрицы НП Г9:
(е,32)^ (2З,25) ->
(1 6] Io V
Ґ
3->
f-\ о^
V О
V
, (6,65)
(і 0 Io -і)
,63^
f- і O^
о
U OJ
, (22,24) ">
0 -і V-І oj
,2і->
(о Л 1-і о)