Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
У О і J , 26—>
^o Л
Vz OJ
Некоторые подгруппы групп Oh и Dfih
Oh: D4h(z) - 1,2,3,4,13,14,15,16 и номера (i + 24)
D2d(z)- 1,2,3,4,37,38,39,40 D2h- 1,2,3,4,25,26,27,28 D3d(Ill)- 1,5,9,13,17,21 и (і + 24) C3v(z') - 1,5,9,37,41,45 D6h: D3d-1,3,5,7,9,11 и (г+ 12) C3v- 1,3,5,19,21,23 D2h-1,4,7,10,13,16,19,22.
181 Ответы и указания к решению задач
Раздел 1.
1. а,б — да, с — нет.
5. (ab)2 = abab = е. Умножить справа на а, потом на Ъ.
6. е.
7. Рассмотреть две возможности: имеются элементы бесконечного порядка; таких элементов нет.
9. ху= у~](ух)у.
10. Разложить группу на смежные классы по нормализатору. Учесть, что элементы bab~l одинаковы для всех Ъ, принадлежащих одному классу.
13. Да, например, Сз.
15. Порядок группы п = к\+к2+...+кг, где ki — число элементов г-го класса. Собирая слагаемые с ki = 1, имеем п = с+к^+...+кг, где с — порядок центра. Если с делится на р, то элемент порядка р содержится в центре; если нет, то на р не делится и какое-то из ki Ф 1, но тогда нар делится порядок нормализатора элементов г-го класса, т.е., порядок подгруппы. Далее — по индукции.
16. Например, Сз <-> Съ в группе Сз.
20. Противное означало бы: G = Z+aZ+a2Z+..., т.е., любой элемент G имел бы вид anz, и группа оказалась бы коммутативной.
21. Нет.
22. Порядок элемента (а,Ь), где а и Ь — образующие групп Zi и Z2, оказывается равным пордку группы ZixZ2.
23. 5 структур: 1) циклическая (типа Cs), 2) абелева, все элементы второго порядка (D2h), 3) абелева, есть элемент четвертого порядка (C4h), 4) неабелева, G={a]+b{a], а = е, b2= е (D4), 5) неабелева, G = {а]+Ъ{а}, а = е, но Ъ2= а2 (кватернионы).
24. Достаточно заметить, что любой цикл (12.../») = (1р)(1,/>-1)...(13)(12).
25. Все степени указанного цикла.
27. Каждый цикл длины I распадается на /-1 транспозицию, а общее число транспозиций (/i-l)+(/2-l)+...+(/m-l) = (1]+I2+... +lm)-m =п-т.
28. Из указанных транспозиций можно получить любую другую, например, (24)=(34)(23)(34); вообще, (а,с±\)=(с,с+\)(а,с)(с,с+\).
182 29. (\2...п)(т,т+\)(\2...п)~ =(т+\,т+2), и задача сводится к предыдущей.
31. е; (123),(142),(134),(243); (132),(124),(143),(234); (12)(34),(13)(24),(14)(23).
32. Сопряжены подгруппы перестановок трех элементов (исключая 4,3,2 или 1).
33. Если Г2Г\ = Г\Г2, то Г\Г2Г{~1 = Г2, т.е., вращение Г\ не меняет оси Г2, отсюда либо ось Г\ совпадает с осью г2, либо ось ri_L оси г2, и г\ представляет собой поворот на 7t. Во втором случае г\г2г{~1 = г21, но r2 = г21 только если г2 также является поворотом на л.
34. Класс составляют унитарные матрицы с одинаковыми собственными значениями (ехрг>, ... схрі(рп).
37. Cnv.
38. Множество трансляций на а = те і + пе2, т,п — целые, и их комбинации с
2 3
поворотами C4, C4 , C4 относительно начала (одного из узлов). В качестве поворотных центров четвертого порядка служат узлы и центры квадратов (ячеек).
39. (Cn,U2).
40. C4zC4х = Ci xyzh, C4yC4zC4* = C1ixyK
41. aU2 = -S1(Cp), где ф = 2ZU2ag; но минимальный угол между плоскостью и U2 в DncI равен л/2п, так что фШт= л/л.
Раздел 2. 1. Нет.
3. а" = е, имеется п НП с а —> ехр(2mm/n), m=Q,\,2,...n-\.
5. D^(g) = (A+)'1 D^(g)A+, с другой стороны, D1 (g~l) = AD2(g-l)A~l, откуда AA+=XE.
I. Все кратности равны (l/g)Zg %{l\g)%{2\g)%{3\g)-
8. В противном случае возникло бы противоречие с теоремой задачи 7.
9. При выполнении условия задачи характеры любых представлений оказываются вещественными.
II. Расписать характер и воспользоваться соотношением ортогональности матричных элементов.
13. 0 для Га Ф Гь
14. Г и Г' одинаково разлагаются по НП.
15. [Хг Сg)] = itXr (S) + 3Xr Сg2 )Хг (g) + 2Хг (g3)l в {Xr3(g)} " знак (-) перед вторым слагаемым.
183 16. [Г2] = [Гі2]+ГіхГ2+[Г22], [Г3] = [Гі3]+[Гі2]хГ2+Гіх[Г22]+[Г23] и т.д.
17. Достаточно заметить, что любую матрицу, содержащую один единичный элемент при остальных элементах, равных нулю, можно выразить через матрицы НП:
^zdw* (g) = р„.
g
g
л
18. Использовать лемму Шура, a) A = X ^Ea © б)
, где Ea —
единичная матрица размерности па.
19. а, X є [Га], а —> A, Ax = ах; в базисе из матриц Pu,P\i,PiuPii (^)-
20. [Грег] совпадает с регулярным представлением групповой алгебры.
21. Пусть В'е=Ь; из В'Ae = АВ'е следует В'а = ab.
апЕ аиЕ' а21Е а22Е
22.
%1 ь2\ 0 0 ^
bU Ь22 0 0
0 0 Ьп ь2\
V 0 0 bU
в том же базисе, что и в задаче 19.
23. g ^g-1.
25. Только для коммутативных групп (Z = [G]).
26. Убедиться, что равенство сводится к соотношению (2.5).
27. (2 2 0), исходя из Г і для Сз; (2 -1 0) из Г2 и Г3.
28. Единичное НП самосопряжено и само является орбитой первого порядка; два
2 2
комплексных НП (1,є, є)и(1,є,є) составляют орбиту второго порядка, с кратностью единица составляющую разложение НП Гз группы СзУ.
Раздел 3.
2. Dooh= Dq0XC;; НП —
4. Из сравнения матриц g((pi'0'cp2') = ^(фі°0°ф2о)^(фі0ф2) следует <Эф2'/<Эф2 = 1, и якобиан |<9(фі'0'ф2')/<9(фі0ф2)| = |5(фі'0')/5(фі0)|. Поэтому для упрощения записи можно положить Фі° = ф2° = ф2 = 0, а в конечном вьфажении якобиана, если понадобится, заменить фі на фі+ф2°, фі' на фі-фі°.
