Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Z^1/2\(pi,0,(p2): (a,?) (параметры Кэли-Клейна); вся матрица выглядит как
f а ?^
V- ? * а *)
При этом мы изменили знаки матриц для элементов 2,7,10,11,12 и 19 (отмечены в таблице точками), что позволяет сохранить в одном классе сопряженных элементов
2 3
матрицы, обозначенные как повороты на одинаковые углы, ({3},{3 },{4},{4 }), и, кроме того, сохранить смысл степеней в этих обозначениях. Инверсия обозначена как I, отражения в плоскостях — т, зеркальные повороты Se, S4 как инверсионные повороты
? о —о
3,4 = 4 , соответственно. Плоскость отражения инверсионного поворота перпендикулярна оси вращения, указанной в третьей колонке.
Двойная группа октаэдра получается добавлением к матрицам Z)(1/2)(a, ?) из шестой колонки списка матриц -Z/1/2'(a, ?), которые нумеруются индексами 1* — 24*, фигурирующими в таблице умножения. Эта двойная группа является простейшим двузначным НП группы поворотов октаэдра.
Таблицы 2 и 6 фактически являются таблицами умножения соответствующих двойных групп. Если ab = с, то, очевидно, ab* = a*b = с, a*b* = с*.
173 Таблица 1. Список элементов группы октаэдра
Ms С ось Cr (фі 0 ф2) (a?) Cl
1 е (xyz) (0 0 0) (1 0) і
2 4!2 [10 0] (х -у -z) (тгтгО) (0 -0* m\
3 422 [ОЮ] (-X у-z) (0 П 0) (0-1) m2
4 4з2 [0 0 1] (-X-у z) (п 0 0) H 0) /из
5 З!2 [1 1 1] (у ZX) (I7rI7r7r) 3?
6 з22 [-1 -1 1] О -х) (M7r0) J12 з!
7 Зз2 [1-1 -1] (~У 2-х) (MTCO) JI (-v* a*). З2
8 з42 [-1 1 -1] {-у-zx) 1J 1 (у7Гу7Г 7г) JI (-ст* -a*) -?2
9 Зі [1 1 1] (ZX У) (0 jn jn) Зі
10 34 [-1 1 -1] (z -X -у) (0 jn jn) ^(a-a*). 34
11 32 [-1 -1 1] (-Z X -у) (Tljnjn) Ji (a* a). 32
12 Зз [1-1 -1] (-Z-X у) (njnjn) Jj (°°*)' Зз
13 22 [1 -1 0] (-у -X -z) (jnnO) (0 -ct*) ms
14 4з [0 0 1] (-yxz) (jnOO) (ct* 0) 4з
15 4з3 [0 0 1] (у-X Z) (jnOO) (-ст 0) 4з3
16 2і [110] (у X-Z) (Onjn) (O-Ct) //24
17 26 [0 і -і] (-X -Z -у) (M7rI7r) № -1) тд
18 25 [0 11] (-X Z у) (M7rI7r) ViH-D Wg
19 4i [10 0] (x-zy) (M7rT7r) VJd-O- 41
20 4!3 [10 0] (xz-y) (jnjnjn) VlH-O 4!3
21 24 [10-1] (-Z -у -х) (njnO) VIHO m-j
22 423 [0 10] (-Z ух) (njnn) ^H-1) 423
23 2з [10 1] (г-ух) (0 jnn) те
24 42 [0 10] (zy-x) (OjnO) VI (1"1) 42
174 J_
2
З
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
J_
2
З
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2. Таблица умножения поворотов группы октаэдра
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1* 4 3* 6 5* 8 7* 10* 9 12 11*
4* 1* 2 7 8* 5* 6 11* 12* 9 10
3 2* 1* 8 7 6* 5* 12* 11 10* 9
8 6 7 9* 12 10 11 1* 4 2 3
7* 5* 8 10 11* 9 12 2* 3* 1* 4
6 8* 5* 11 10 12* 9 3* 2 4* 1*
5* 7 6* 12 9 11 10* 4* 1* 3 2*
11* 12* 10* 1* 3* 4* 2* 5 7* 8* 6*
12 11* 9 2 4 3* 1* 6* 8 7* 5*
9 10 12* 3 1* 2 4* 7* 5* 6 8*
10* 9 11 4 2* 1* 3 8* 6* 5* 7
15* 14* 16 21* 23 22* 24* 17 19* 18 20*
16 13 15 22 24* 21* 23* 18 20* 17* 19
13 16* 14* 23* 21* 24 22* 19* 17* 20 18
14* 15 13* 24* 22* 23 21 20 18 19 17
18* 20 19 13* 14 16* 15 21* 22 24 23*
17 19* 20 14* 13* 15* 16* 22 21 23 24
20 18 17* 15 16* 14* 13 23 24 22* 21*
19* 17* 18* 16* 15* 13 14 24* 23 21* 22
24 23* 22 17 20 19 18* 13 16* 15 14
23* 24* 21* 18* 19 20* 17* 14* 15 16 13
22 21 24* 19* 18* 17 20* 15 14 13* 16
21* 22 23 20 17* 18* 19* 16 13 14 15*
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
14 13* 16* 15* 18 17* 20 19* 22* 21 24* 23
15 16 13* 14* 19* 20 17* 18* 23 24* 21* 22
16* 15 14* 13 20* 19* 18 17 24* 23* 22 21
17* 20 18* 19* 21 24* 22 23* 13* 16* 14* 15
18* 19* 17 20* 22* 23* 21 24 14* 15* 13 16*
19 18* 20* 17* 23 22* 24* 21 15* 14 16* 13*
20 17 19 18* 24* 21* 23* 22* 16 13* 15* 14*
21 23 24* 22 13 15 16 14* 17* 19* 20 18
22 24 23 21* 14* 16 15* 13* 18 20 19 17
23* 21 22 24 15* 13 14 16 19* 17 18 20*
24 22* 21 23 16 14 13* 15 20* 18 17* 19
1* 3 2 4* 9* 11* 10 12 5 7 6* 8
2* 4 1* 3 10 12* 9 11* 6 8 5 7*
3* 1* 4* 2* 11 9* 12* 10 7 5* 8 6
4 2 3* 1* 12* 10* 11* 9* 8* 6 7 5
5 6* 8* 7 1* 2 4* 3* 9 10* 12 11*
6 5 7 8 2* 1* 3 4* 10* 9* 11* 12*
7* 8* 6 5 3 4 2 1* 11 12* 10* 9
8* 7 5* 6 4 3* 1* 2* 12 11 9* 10*
д* 12* 11* 10 5* 8 7* 6* 1* 4* 3 2*
10* 11* 12 9* 6 7 8 5* 2 3* 4* 1*
11 10* д* 12* 7* 6 5 8 3* 2* 1* 4
12* 9 10* 11* 8 5 6* 7 4 1* 2 3
175 Таблицы 3. Характеры НП группы октаэдра
О E 8 C3 3 C42 6 C4 в U2
Гі 1 1 1 1 1
Г2 1 1 1 -1 -1
Гз 2 -1 2 0 0
г4 3 0 -1 1 -1
Г5 3 0 -1 -1 1
Двузначные НП (нечетные НП двойной группы октаэдра)
о е е* 3, З2* З2, 3* 42, 42* 4, 43* 4і, 4* 2,2*
г6 2 -2 1 -1 0 V2 -л/2 0
г7 2 -2 1 -1 0 -л/2 V2 0
г8 4 -4 -1 1 0 0 0 0
Матрицы НП группы октаэдра
Двумерное НП Г3 можно построить на функциях 3z - г2, S (х2 - у2) (в кубических осях). Соответствующие матрицы:
-1 VT -S -1,
-1 -S"
(е,4Д422,432)^
г\ 0Л v0 Iy
, (3і2,322,3з2,342) —> —
(Зі, 32, Зз, З4) —> — !-
2 , л/3 -1
1( -1 -К
(2б, 25, 4і, 4і3) —> —
2 -S 1
, (2.2, 4з, 4з , 2і) —>
1 ОЛ О -1
