Теплофизические свойства двуокиси углерода - Алтунин В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Формы (1.32) отражают структуру наиболее распространенных типов уравнения состояния, пригодных для обобщения экспериментальных данных в широкой области изменения независимых переменных. В каждом случае число определяемых констант зависит, разумеется, от интервала изменения р и т, от требуемой точности аппроксимации, от количества и качества дополнительных ограничений и может составлять от 20 до 50 и более, причем чем проще структура уравнения, тем больше констант оно содержит. Ясно, что формальное уменьшение числа регулируемых параметров окажется мало полезным, если оно будет осуществлено путем чрезмерного усложнения формы уравнения состояния или введения неаналитических функций.
Иногда даже простые модельные уравнения нерационально вводить в выражение (1.31), так как они затрудняют или делают невозможным аналитический расчет некоторых термодинамических функций (ср, а,...). В качестве примера можно назвать уравнение Тэйта. В инженерной практике, конечно, наиболее удобны полиномиальные разложения типа (1.32а). В этом случае схема расчета термодинамических свойств ока-
43
жется наиболее простой, а соответствующая программа для ЭЦВМ может быть сделана весьма компактной (см. разд. 1.4). Но зато количество констант в уравнении состояния значительно увеличивается, особенно при существенном расширении аппроксимируемой поверхности, и в процессе вычислений могут возникнуть новые проблемы при поиске {Ьц}.
О методах решения систем высокого порядка. Сравнительное исследование рекомендуемых в математической литературе алгоритмов решения систем алгебраических уравнений, выполненное ранее в [1.2], показало, что при т > 30 ни один из семи рассмотренных прямых методов обращения матриц* не пригоден для целенаправленного поиска уравнения типа (1.32а), которое бы охватывало одновременно как газовую, так и жидкую фазы. Трудность заключается в том, что при т > >(25-г-30) устойчивость процесса аппроксимации нарушается и вариация по искомым параметрам {Ь^} сопровождается значительными случайными колебаниями («биениями») минимизируемой суммы квадратов отклонений 5. Для регуляризации решения, т. е. для получения монотонного уменьшения 5 при увеличении числа членов аппроксимирующего полинома, в [1.3] предложена и осуществлена специальная процедура уточнения решений, найденных прямым обращением матрицы.
Для уточнения {Ьц} использован метод усреднения коэффициентов, основанный на многократной минимизации 5 в рамках выбранной системы функций. Пусть нам известна некоторая совокупность линейно независимых функций {фг}, найденных из условий задачи минимизации. Возьмем два произвольных члена множества {фг} и построим из них линейную комбинацию
2(1) = с1ф1 + с2ф2. (1.33)
С помощью метода наименьших квадратов можно с высокой степенью точности определить коэффициенты с4 и с% и тем самым построить функцию лучшего приближения по сравнению с исходными ф! и фг. Далее скорректированным решением
г*1) замещают фЬ а в качестве фг берут новую функцию из системы {фг}, не совпадающую с ранее выбранными. В результате многократного преобразования выражения (1.33) будет осуществлен следующий итерационный процесс:
7<» = а-&1-Ъ + ст. (1.34а)
* В [1.2] были апробированы следующие методы обращения матриц: 1) метод Гаусса с выборкой главного элемента; 2) метод квадратного корня; 3) метод ортогонализации; 4) метод сопряженных градиентов; 5) метод отражений; 6) метод вращений и 7) метод Жордана с выборкой главного элемента по матрице.
44
При практической реализации изложенного метода целесообразно «сшивать» одновременно несколько функций {фг-}. Тогда схема итерационного процесса приводится к виду *
^ез = С4ез-1) + 2^Ь
(1.346)
/=1
где грез — результирующее решение для (п) и (п—1)-го приближения.
5000
то
3000 1000
О О
1000
500
300
8 о
1
8
10 11 12
Рис. 5. Изменение квадратичного функционала в итерационном процессе по схеме (1.34):
7 —для частных решений вида (1.32а); 2 —для суммарного решения при /1-й итерации; стрелкой выделено лучшее частное решение
На рис. 5 представлены результаты конкретного расчета для С02 [1.2] по схеме (1.346) применительно к уравнению типа (1.32а). Здесь при каждой итерации линейная комбинация (1.346) строилась из четырех-пяти частных решений. В качестве частных решений использовали, как правило, функции (1.32а) с одинаковым набором параметров (г-з*), но найденные отличающимися методами обращения матрицы. Исходные экспериментальные данные включали около 1100 точек г(р, Т) для газовой и жидкой фаз в интервале 0,01 ^ р ^ 1,3 г/см3 и 0»7 ^ р ^ 3,6 г/см3. Из рисунка видно, что квадратичный функционал по суммарным решениям в ходе итерационного процесса изменяется монотонно (регулярно) и в результате 13 итераций уменьшился более чем в два раза. Разница между
* Здесь рассматривается простейший случай, когда уравнение состояния отыскивают лишь по ?($, Г)-данным. При совместной обработке разнородных опытных данных формулы усложняются, но схема счета сохраняется прежней.
45
конечным значением 5КОн по суммарному решению и лучшим частным решением составила около 100 единиц, т. е. ~25% по отношению к 5К0н. Такое повышение точности аппроксимации следует признать очень хорошим тем более, что по числу ii распределению {Ь^} окончательно принятый вариант уравнения состояния незначительно отличается от большинства частных решений.
