Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алтунин В.В. -> "Теплофизические свойства двуокиси углерода" -> 13

Теплофизические свойства двуокиси углерода - Алтунин В.В.

Алтунин В.В. Теплофизические свойства двуокиси углерода — М.: Издательство стандартов, 1975. — 546 c.
Скачать (прямая ссылка): teplofizsvoystvadvuokis1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 208 >> Следующая

К числу работ, в которых метод ортогональных многочленов применялся для построения термического уравнения состояния, относятся [1.7, 1.8, 1.47, 1.59а, 1.64, 1.90]. В подавляющем большинстве работ для получения коэффициентов разложения авторы предварительно составляли прямоугольную сетку по г(р, Т) и поиск аппроксимирующей зависимости проводили с помощью известных ортогональных многочленов (от одной переменной) [1.47, 1.59а, 1.90].
На современном уровне распространения и доступности ЭЦВМ более оправдано построение многочленов на имеющемся множестве экспериментальных точек и аппроксимация ими, а не использование известных многочленов, которые в общем случае неортогональны на множестве опытных точек. Такой более общий подход к задаче построения уравнения состояния применен практически в работах Бейна [1.64] и Алтунина и Сахабетдинова [1.7, 1.8]**.
* Для аппроксимации однопараметрических зависимостей метод ортогональных многочленов применяют сравнительно часто (см. [1.7, 1.17, 1.73, 1-79, 1.83 и др.]).
** Заметим, что в [1.7, 1.8] использованы более удачные рекуррентные соотношения и, кроме того, обработка выполняется с «весами». Эти различия являются решающими при построении единого уравнения состояния.
3~2961
33
Рассмотрим вопрос об аппроксимации ортогональными многочленами функции нескольких переменных. Пусть Фг(*'=1, 2, ...)—упорядоченное множество ортонормирован-ных на множестве Ь многочленов. Скалярное произведение определим равенством
(/, ?)=2имло/(ло?(л/), (1.20)
где ЩЛО —весовая функция; N — точка множества Ь. Разложение функции г(Ы) по многочленам ф* имеет вид обобщенного ряда Фурье:
^=2% (1.21)
где Лг=(г, ф*) —коэффициент Фурье функции
Функция г{Щ, определяемая равенством (1.21), является аппроксимирующим многочленом для функции г(М). Точность аппроксимации характеризуется величиной [1.7]
5 = 2Г(Л0 [2(^)-г(^)]« = (г, г)-
~2А,2=5<?-1-А/. (1.22)
Из формулы (1.21) видно, что добавление последующих членов разложения не изменяет предыдущих коэффициентов, а равенство (1.22) свидетельствует о монотонном убывании величины 5 с добавлением последующих членов в разложении (1.21).
Легко показать, что аппроксимация многочленом
г(Щ явлйется аппроксимацией по методу наименьших квадратов, но в качестве базисных функций принимаются ортонор-мированные многочлены фг-, вследствие чего нормальная система имеет единичную матрицу и коэффициенты разложения получаются непосредственно.
Вопрос о построении упорядоченной системы ортогональных многочленов от двух переменных на произвольном множестве точек рассматривался в нескольких теоретических работах [1.14а, 1.46, 1.48, 1.71, 1.102]. Наиболее удачные, на наш взгляд, рекуррентные соотношения * получены Сахабетдиновым [1.51а]. Эти соотношения связывают между собой значительно меньшее число ортогональных многочленов по сравнению с формулами из [1.14а] и [1.102]. Полученные соотношения использованы М. А. Сахабетдиновым при разработке программы аппроксимации ортогональными (на множестве эксперименталь-
* Использование рекуррентных соотношений, связывающих между собой ограниченное число ортогональных многочленов, сокращает время счета и повышает точность их построения.
34
ных точек) многочленами. Действующая программа, составленная в действительных адресах ЭЦВМ типа М-220, оказалась эффективной и применена Алтуниным и Сахабетдиновым [1.7, 9.1, 10.1 и др.] для аппроксимации разных поверхностей.
Следуя [1.8], получим расчетные формулы для оценки диспер-/ч»/ /^»/
сии г и ее линейных преобразований ?г=2 Лг(?фг).
Пусть г(Щ статистически независимы, имеют математическое ожидание г(Щ и дисперсию а22=а02/^(^)- Тогда математическое ожидание Ас
А|=(*. ъ),
а дисперсия
О!. = Я(Аг) = 2Г2(Л0ф<2(^ка =
= Ш{Ы)щ*[Ы)а9* = с*. (1.23)
Из формулы (1.21) следует, что дисперсия аппроксимирующего многочлена
и й = <г - о02 2 ф/2 - V 21 ъа + во?Л (1 •24)
1=0 1=0
Сопоставление выражений (1.22) и (1.24) показывает, что при увеличении числа коэффициентов в формуле (1.21) минимизируемая сумма монотонно уменьшается, но при этом И (г) увеличивается. Следовательно, должно существовать критическое значение <7=<7о, при котором аппроксимация будет оптимальной. Путем дальнейшего увеличения q можно достичь лучшего
согласования г и гоп, но при этом ухудшается согласование с истинными значениями г. Таким образом, бесконтрольное увеличение числа коэффициентов в уравнении состояния способно создать лишь иллюзию точности (см. выше) и привести к дополнительным трудностям при расчетах (см. разд. 1.3). В методе ортогональных разложений также легко оценить
дисперсию различных линейных преобразований от г:
О{й) = о>„=е0*± {ЬЬ)\ (1.25)
Ьг 1=0
Можно показать также, что при достаточно большом щ несмещенной оценкой сто может служить следующее выражение:
«„*=:—!— %№(щ\г(Щ--%Ат(М)]\ (1.26) »-«-^еЬ [ Т-о ]
Используя формулу (1.25), можно строго решить вопрос о точности величин, получаемых из уравнения состояния с помощью
3* 35
дифференциальных и интегральных преобразований (например, с<о, ср, Я, а и др.). Следует отметить, что в методе наименьших квадратов с неортогональным базисом формулы, аналогичные формулам (1.23) — (1.25), выглядят значительно сложнее и выражаются через определенные матрицы. Некоторые конкретные расчеты для этого случая сделаны недавно в [1.35].
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 208 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed