Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
даже одними и теми же энергиями связи для связанных состояний.
Для простоты предположим, что для двух таких эквивалентных потенциалов
Vi(x) и V2{x) имеется только одно связанное состояние при k--tg, причем
g>0. Из соотношения (12.34) и (12.34а) видим, что fi(k)=f2(k)=f(k) \fiik)
и /2(&) - функции Иоста для потенциалов Vi(x) и И2(л:)] и, следовательно,
рД-Е) =р2(Е) >0, хотя нормировочные константы С), С2 для связанных
состояний могут и быть различными.
В данном случае лучше всего исходить из ядра К\г(х, у), определенного в §
3 настоящей главы. Можно показать, что ядро Ка(х,у) удовлетворяет
интегральному уравнению
е
K\2(tt а:) + й12 (/, лг) -J* /Сх2(/> У)&12(У> x)dy - О,
о
(12.41)
206
Гл. 12. Обратная задача
частным случаем которого является уравнение (12.26). При этом ядро 2 {t,
у) дается выражением
ОО
й1г(С у)- I Фг(?. Офг(?> у)do 12. (12.42)
- ОО
а, а (^) = Pi (?) -р2(С),
где pi(?) и р2(Е) - спектральные функции для потенциалов Vi(x) и V2(x)
соответственно. Из (12.42) непосредственно видно, что если Vi(x) и V2(x)
эквивалентны в смысле фаз, о чем было сказано выше, то оц(Е)=0 при ?>0, и
поэтому
^ = (С1-С2)б(? + |2).
Тогда ядру 012(f, у) можно придать очень простой вид
2(^, у) = (Ci - С2)ф2(г|, t)фг(*^. у) •
Следовательно, уравнение (12.41) можно преобразовать к виду
tfi2(*. Х)Л (Сх -С2)ф2(/|, 0Фг(*?" ¦*) +
t
+ (Ct - С2)ф2(г|, л;) J Kn(t, у)ф2(/|, y)dy = 0,
о
так что функция Кц(х, у) удовлетворяет уравнению с вырожденным ядром;
можно утверждать поэтому, что
Ki г (t, x) = a(t)<p2(il, •*)> где функция a(t) определяется из уравнений
М (t) а (t) = (Ci - С2) ф2 (/|, t),
t
M(t) = - (Cj - C2) J [ф2 (i\, y)]2 dy - 1,
0
так что
(a __ (^1 fit) ф2 0 ф2 OS* X)
Ai2(f" X)- ~t .
(C,-C2) J [ф,№")]*^ + 1
о
§ 7. Потенциалы, ведущие к одинаковым фазам 207
Таким образом, согласно (12.23а), имеем Vl{x) - Vi(x) = - 2 ^\пМ(х).
Полезно отметить, что если потенциал Vi{x) удовлетворяет неравенству
(4.6) при v<m и /п>2|, то потенциал V2(x) удовлетворяет этому неравенству
при v<2g, а не при v<m, т. е. V2(x) имеет больший радиус, чем Vi(x).
Можно ожидать, что функция f\{k) будет регулярной вплоть до значения lmk
= tn/2, а Ы&)-только до значения Im k = \. В действительности fi(k)=f2(k)
при Im k<l и f2(k) не определено для Im k>\. Указанное обстоятельство
объясняет, почему величины С все же различны, несмотря на то что,
согласно формуле (7.7), они одинаковы для Vi(x) и V2(x):
С~- Ш2
f (Я, k) (df (X, - k)jdk)
и что функции Иоста одинаковы для обоих потенциалов. Дело в том, что
значение f2(i%) не определено. Если, кроме того, желательно определить
f2(k) для V2(x) при Im &>!, то нельзя пользоваться аналитическим
продолжением.
Опустим теперь условие, что энергия связи одинакова для потенциалов Vi(x)
и V2{x), т. е. Д(-/?i)=0 и Ы-*Ы = 0. и ?,\ФЪ- Из эквивалентности фаз
имеем
ЫА) = Ы*)тгг?Г-
так что
dan (Е)
:С16(Д+|2)-С26(Д + |2), Е<0,
dE
don{E) k 1 (2^+if + Si) (Sj - i?)
dE n |M*)|2
2\2 t F 0,
причем Oi2(E) достаточно быстро убывает, что позволяет ввести в
рассмотрение ядро Ql2(x,y), для которого уравнение (12.41) может быть
разрешено. Иост и Кон [56] вычислили изменение 6У(*) потенциала
208
Гл. 12. Обратная задача
Уг{х) = У{х), которое ведет к бесконечно малому сдвигу 6? в энергии связи
= ?2. Они нашли, что
51/_______________________________________д_
df(k)/dk\k = _il[df(-il,x)ldx]x=0 di Х
x[f(-n, x)df(-b x)} 6|.
Подобное соотношение имеет место и в случае нескольких связанных
состояний.
§ 8. Баргмановские потенциалы
Баргман [2, 3] открыл замечательный класс потенциалов, для которых можно
указать явно вид функций Иоста; при этом функции Иоста выражаются через
элементарные рациональные функции. Эти потенциалы замечательны также тем,
что для них ядро К(х,у) представимо в виде
К (•*> у) = 2 л, (х) в, (у).
i = l
Для простоты будем считать, что N= 1. Подставляя ядро К{х, у) в уравнения
(12.20) и вспоминая, что /С(х, 0) =0, мы приходим к следующему выражению
для К(х, у):
K(x,y)=^{q.x)<po{q,y),
где q - некоторая константа, а ф- решение волнового уравнения
ф//+^2ф- К(л:)ф = 0.
Однако поскольку при вещественном q
V (х) = 2 = 2 ? [ф (q, х) Фо (q, х)],
то потенциал V(x) осциллирует и не обращается в нуль при больших х\
следовательно, q=ip. Вышеприведенное выражение растет, если только не
выполняется асимптотическое соотношение
ф (q, х) = С) (- ip, х) ~ Се~Рх.
*-н>?
§ 8. Баргмановские потенциалы
209
Полагая в формуле (12.13) k - ip, получаем
X
Ф(ip, x) = %(ip, л:)+ J К(х, y)%(ip, y)dy =
О
х
= Ф0 (ip, x) + ^{ip> х) J [ф0 (//?, y)]2dy.
о
Допустим теперь, что ф(ф, х)=-аф {ip,x), т. е. что ;имеется связанное
состояние с энергией связи -р2. Тогда
Ф(Ф, *)-----------чЛ'1р'х)-------
1+" f [<Ро(Ip. y)]2dy
О
Потенциал V (х) можно записать теперь явно: V{x) = -2a-dx
d _____________[Фо (ip, x)Y
1 + "/ [фо (ip, У)]2 dy
О
Вспоминая тождество
{Щ - ka) J Фо(^1- -*)ф0(й2> x)dx =
О
= %{kv X)^(kv x)-%{k2, *)Фо(?г X),
