Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение имеет только тривиальные решения. Предположим, что для
заданного t уравнение
t
ho(x) + j ло (У)Q (*" y)dy - 0 (12.36)
лмеет решение к0(х)ф 0. Введем новую функцию
h0 (х), x<t,
Л(х)-' О, x>t.
Из уравнения (12.36) тогда имеем
со оо со
J h2 (x)dx -f | dx J Q (x, y) h (x) h (y) dy - 0.
§ б. Изучение уравнений Гельфанда-Левитана и Марченко 201
Используя соотношение (12.27) и равенство Парсе-валя для функции ф0(?,
х), находим, что
Этот интеграл обращается в нуль только тогда, когда
причем Е принадлежит спектру, т. е. h (^ ортогональна всем функциям
<р0(&, х), для которых Е принадлежит спектру, и, следовательно, h(x)= 0.
Отсюда ясно, что уравнение (12.26) всегда имеет решение. Остается только
доказать, что подстановка этого решения К(х, у) в соотношение (12.13)
дает систему собственных функций дифференциального оператора -d2/dx2 +
V(x), где V(x) =2dK(x, x)/dx.
Доказательство проведем при упрощающем предположении, что ядра Q(x, у) и
К(х, у) имеют интегрируемые вторые производные. Это ограничение можно,
конечно, ослабить, однако большинство потенциалов удовлетворяет этому
условию. При сделанном предположении применим оператор (d2/dt2) - -
(д2/дх2) к обеим частям уравнения (12.26). Так как, согласно равенству
(12.35),
' 2
J J ф0 (k, x) h (л:) dx dp (Е) = 0.
оо
0
ТО
о о
202
Гл. 12. Обратная задача
Интегрируя далее по частям, находим
+ / Q <*, У) [gr - - 2 К а. и) dy =
_ ndK(t, t) - z dt
/C(/l,x)+Q(Ax)+J/C(^ t/) Q (jc, y)dy
='0.
Отсюда видно, что функция D(x) есть решение однородного уравнения и
поэтому равна нулю тождественно. С другой стороны, очевидно, что в силу
уравнения (12.26) Q(x,0)=0 и К(*,0)=0. Таким образом, ядро К(х,у),
удовлетворяющее, согласно § 4 настоящей главы, соотношениям (12.20),
также удовлетворяет в силу равенства D(x)= 0 и уравнению (12.16). Функции
<р(&, х), получаемые из К(х,у), согласно (12.13), будут удовлетворять
уравнению (12.14),если положить V{x)=2dK(x,x)/dx, причем эти функции
будут собственными функциями -(d2/dx2)+ V(x), что и требовалось доказать.
Наш способ доказательства, конечно, формален, поскольку еще нужно
доказать, что вторые производные существуют. Строгое доказательство этого
можно найти в литературе [40].
Уравнение Марченко можно рассмотреть аналогично. Наметим вкратце
соответствующее доказательство. Мы уже знаем, что
ОО СО со
J | Z7 (л:) [ fifjc < оо, J dx J | V (и) | du < оо.
t t X
Как будет показано дальше, имеется далеко идущая аналогия между функциями
F'(x) и V(x) в том смысле, что они удовлетворяют одним и тем же
условиям.' Поэтому потребуем, чтобы
j х\F'(x)\dx < оо, о
§ 6. Изучение уравнений ГельфйНда-Левитана и Марченко 203
В этом случае F(x+y) является ядром Гильберта - Шмидта (см. гл. 2, § 5).
Действительно,
ОО ОО
F(t)< J\F'(x)\dx<\-\x\F'{x)\dx = ^
t t
или \tF(t)\<M\ следовательно,
оо со оо
j dx j [F(x+y)]*dy< | q[F{q)fdq<
t t 21
CO
< M J \F(q)\dq< oo. 21
Отсюда ясно, что в данном случае имеет место альтернатива Фредгольма, т.
е. уравнение (12.30) имеет решение, если однородное уравнение
оо
f{x)=\F(x + y)fU,)dy (12.37)
t
не имеет решений в пространстве L2(t, оо). Умножая равенство (12.37) на
f(x) и интегрируя по х от t до оо, получаем
со оо оо
J [f (x)]2dx- J dx J F(x + y)f(x)f(y)dy = 0. (12.38)
t i t
Если ввести функцию
СО
т| (k) = J eikxf (x) dx,
t
такую, что
СО
J т]2 (k) dk = 0,
- CO
204
Гл. 12. Обратная задача
то уравнение (12.38) можно записать по-другому:
СО
J |Л (*) I2 [1 - (6+,р)] dk = о, (12.39)
- СО
Ф- arg rj (Л).
Но соотношение (12.39) противоречиво (если только функция ri(&) не равна
нулю), так как вещественная часть подынтегрального выражения
неотрицательна:
Re [1 - ё11 (5+<р)] = 2 sin2 (6-)- <р) '.>0.
Проведем теперь упомянутую выше аналогию между функциями F'(x) и V(x). Из
уравнения (12.30) имеем
СО
F{2x) = A{x, х) - 2 J F(2t)A(x, 2t - x)dt. (12.40)
X
Соотношение (12.40) можно рассматривать как уравнение Вольтерра
относительно неизвестной функции F(2x). Это уравнение можно анализировать
обычными методами, используя (12.17). Полагая
ОО
а (Jt:) = J" | V (y)\dy <со,
X
получаем
\А(х,
В результате находим следующую оценку:
I/^jcJKCoW.
Более тщательная оценка Фаддеева [32] (доказательство ее здесь не
приводится) дает
' ОО
| F' (2х) + 11/ (х) | < С [т (2*)]2 - С J \F'{t)\dt
и2х
§ 7. Потенциалы, ведущие к одинаковым фазам 205
где, конечно,
00
|^(2*)|< \\F'(t)\dt = x(2x).
2х
Аналогия между т(2х) и сг(лг), а следовательно, и между F'(x) и V(x)
очевидна [32].
Зная функцию А(х,х), можно легко восстановить У(х); можно видеть, что
функции f(k,x), полученные по формуле (12.12), являются в точности
решениями Иоста соответствующего уравнения Шредингера.
§ 7. Потенциалы, ведущие к одинаковым фазам
Важным побочным результатом исследования обратной задачи является факт
существования потенциалов, эквивалентных с точки зрения фаз рассеяния.
Оказывается, что существуют разные потенциалы с одним и тем же S(k) и
