Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
J ср2(г?", x)dx
1 4/А2
IW df (-k)/dk
к = Цп
§ 3. Операторы А (х, у) и К (х, у)
189
Поскольку множество функций ф(х) плотно в пространстве L2(0, оо),
соотношение (12.8) выполняется для любой ф ?Ь2(0, оо). Из соотношения
(12.8) имеем
+ СО
6 (х - у) = J ф(?, лг) ф (^, y)dp(E), (12.9)
где
<<Р(Д) dE
Если V(л:) == 0, то
¦. Е>0,
л \fiVE)?' (12.10)
ЪСпЬ{Е-Еп)|, ?<0 (С"> 0).
[P(?)ln"-o = Po(?) = Ji-?"'0(4.
§ 3. Операторы А (л:, у) и К (х, у)
Из леммы 2 гл. 4 легко получить, что h(k, х) = = f(k, x)-exp(-ikx) ?
L2(ib-оо, ib-|-оо) по k(b < 0), так что
+ со
| I h (Я + х) 12dq = 0 (e2bx), b < 0.
- СО
Теорема 10 гл. 2 утверждает в таком случае, что
+ СО
Л (л, у) = -^ I [f{k, x) - e-ikx\el*y dk~ 0, y<x.
- оо
(12.11)
Обращая соотношение (12.11), приходим к соотношению
СО
f(k, х) = е~1кх | А(х, y)e~iky dy, (12.12)
X
где А (л:, у) ? L2 (х> °°) по у.
Подобное же интегральное соотношение можно вывести при использовании
вместо f(k, х) функции ср(&, х) при ограничениях, которые, однако, пока
не
190
Гл. 12. Обратная задача
ясны. Учет законов сохранения ограничивает произвол в выборе потенциалов
теми потенциалами, которые удовлетворяют условию леммы 4 гл. 4, т. е.
условию
X
#(х)= j \V(y)\dy <оо.
О
В этом случае (см. гл. 4, лемму 4)
Ф (k, х) = ik [ф (kx) - ^}~\
принадлежит L2{-oo+ib, + сю + ib) no k для любого х. Далее в силу лемм 3
и 5 гл. 4 Ф (k, х) является целой функцией х экспоненциального порядка.
Следовательно, по теореме Палея - Винера (теорема 9 гл. 2)
имеем
X
Ф {k, x) = j j К (х, у) е1кУ dy,
- X
где К(х, у) ?L2(-x, х) по у. Так как Ф(А, х)-нечетная функция k, то имеем
также
К{х, -у) = - К{х, у),
Ф (k, х) = + J К(х, у) ky. (12.13)
о
Соотношения (12.12) и (12.13) мало что говорят о самих функциях А(х, у) и
К(х,у); чтобы узнать о них больше, подставим (12.12) и (12.13) в
соотношения
(4.8) и (3.29) для S-волн, которые имеют вид
ОО
f(k, x) = e~ikx + \ J sink(y - x)V(y)f(k, y)dy,
(12.14)
ф(А, x)= + J sinЛ:(jc - y) V(y)y{k, y)dy.
§ 3. Операторы А(х,у) и К(х,у)
191
Исключая тригонометрические функции, приходим к уравнениям
ОО
А(х, У) - ~2 j" V(t)dt-\-
(Х+у)/2
со (У-Х)/2
+ j dt j V{t - z)A{t - z,t + z)dz, (12.15)
(x+y)/2 0
У>Х,
(x+y)/2
K(x,y) = ± J V{t)dt +
(x-y)/2 (x+y)/2 (x-y)[2
-f [ dt f V(t + z)K{t + z, t - z)dz, (12.16)
(x-y)/2 0
X>y.
Эти уравнения легко изучить, в частности для них можно построить ряды
теории возмущений, из которых можно получить следующие оценки:
\А(х, у)\<С^ f \V(t)\dtexp(j t'\V(t')\dt'),
(x+ym \х 7 (12.17)
х / (х + у)/2 у '
№,*/)|<^ ' J I^OI^exp J
(х-у)/2 \ О /
Для производной дА(х, у)/дх получаем Ш Л(х' у)+ТУ(?Т^')|<
оо оо
<CJ \V(t)\dt J \V{t')\dt'.
x (Х+У)/2
Подобные оценки можно получить и для других производных.
192
Гл. 12. Обратная задача
При наличии оценок (12.17) можно построить решения уравнений Вольтерра
X
/(*)+ J К(Х, y)f(y)dy = g(x),
О
оо
f (¦*) + / Мх, y)f{y)dy = g{x)
X
X
f(x) = g(x) + | К(х, y)g(y)dy,
О
со
f(x) = g(x) + { Мх, y)g(y)dy.
* X
Введем далее новые переменные г - х + у V, - х~~ У
в виде
(12.18)
ъ 2 ' 11 2 А(х, у) = а(?, л). К(х, у) = х(?, л)-
В этих переменных уравнения (12.15) и (12.16) принимают вид
ОО Т\
а (?, г]) = y J V {t) dt + J dt J V {t -j- z) a (t, z) dz,
t CO
? S ч (12.19)
X (С. П) = ~2 J V (0 dt -f J dt | V{t + z) x (t, z) 6fe.
T) 0
Из уравнений (12.19) ясно видно, что существуют смешанные производные
d^a/didy], d%/Jdtdr], удовлетворяющие уравнениям
' V (С 4- Ц) а ~ 0, л < О,
дйдг)
д21
d?di\
- v (S +11) X = о, ц>0.
§ 3. Операторы А (х, у) и К (х, у)
193
(12.20)
Если производные
д2А д2А д2К д2К
дх2 ' ду2 ' дх2 ' ду2
также существуют, то
Из уравнений (12.15) и (12.16) имеем также (см.
лемму 4 гл. 4)
СО
А(х, х) = ^ J V (t)dt,
X
X
К(х, x) = i J V(t)dt^R(x)<oo, (12.21)
о
К{х, 0) = 0.
Функцию К{х, у)=-К{х, -у) можно таким образом рассматривать как решение
уравнения (12.20) с граничным условием
X
К(х, х) = j V (t)dt, К(х, -х) = - К(х, х). о
Стандартные теоремы [96] гарантируют существование и единственность
решения при наложенных на потенциал V(x) условиях.
Также можно доказать, что обратные ядра, определяемые соотношениями
(12.18), удовлетворяют уравнениям типа (12.20), (12.21)
A(x,x) = -^fv(t)dt,
X
1*-1(r)г = -уМХ' K(x,x) = -±-jv(t)dt.
о
13 Зак. 18
194
Гл. 12. Обратная задача
Наконец, пусть заданы два потенциала Vx(x) и V^C*) и их ядра Ki(x, у) и
К2(х, у), К\{х, у) и К2(х, у). Тогда имеем
X
Ф1 (Л, x) = %(k, л:)+ J Кх{х, у)%(k, y)dy, (12.22)
О
х
Ф0 (k, х) = ф2 (k, х) Н- J К2 (х, у)ф2 (k, у) dy. (12.23)
о
Подставляя функцию ф0(&, х), определенную по формуле (12.23), в (12.22),
приходим к следующему уравнению Вольтерра:
X
Ф1 (k, x) = (f>2{k, х)+ J К12(х, у)ф2(k, y)dy,
О
в котором
X
Кп(х, у) = К\{х, у) + К2{х, (/)Н- J Кх(х, z)к2(z, y)dz.
У
Аналогично находим
X
Ф2(?, х)==Ф1 (k, jc)+ J К12(л:, y)q>i(k, y)dy, о
Kn(х, y) = K2i(x, у) =
X
= К2(х, у) + Кх(х, ?/)+ J К2(х, z)Kx(z, y)dz.
У
Очевидно, что КХ2(х, у) является обратным ядром для К2Х(х, у). Эти ядра
