Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
228 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
из уравнении
OO
соїе (т) r(x—t)d% = —s-е"
00
1
(6.33)
co?6 (T) г (т — t)dx = J e~ieU
(О «3 t < оо).
Из (6.29) и (6.33) видно, что при 6 = 0
уо(?) = 0, (O010 (t) = — (O020 (t) = (o°(t), (6.34)
поэтому главный член асимптотического решения при малых К уравнения (6.11) будет в соответствии с (6.28) иметь вид
ф (X) = CO0 (1±1-) - CO0 (6.35)
Решение интегральных уравнений (6.33) может быть получено методом Винера — Хопфа, существо которого было изложено в § 9 гл. 2. Чтобы найти решение уравнений (6.33) в удобной для использования форме, аппроксимируем функцию L(u) следующим выражением:
И2 + /
l(u)«_4=4 г=4 • (6-36>
и V и-f h\ V 2 1 )
Погрешность такой аппроксимации при Zi1 = 0,973, h2 = 1,895 не превосходит 5%- Поскольку интегральные уравнения (6.33) однотипны, то далее подробно рассмотрим лишь первое из_ них. Положим (0? (t) = (— 1/2) ехр (І8/Х) ф6 (?); тогда функция ф«(?) удовлетворяет уравнению 00
1 фе (т) г (т — t) dx = пе~г6і (0^?<оо). (6.37)
о
Функциональное уравнение (см. § 9 гл. 2) для интегрального уравнения (6.24), (6.36), (6.37) будет иметь вид
M3 + ft? 1 « ~
Ф+(Ц) -----Ц + я_(ц. (6.38)
uVu' + h* и~6 V
Допустим, что при б = O и и-*- О
Ф+ (O) = C1=Jfc О, E-(O) = C2, (6.39)
причем Ci и C2 — конечные постоянные. Это означает, что
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
229
интегралы
OO о
Cl => J ф+ Cr) dx, C2= J е_ (т) dx (ф+ (t) = щ (t)) (6.40)
О — OO
при 6 = 0 сходятся, где ф+ (t) и e-(t) — оригиналы трансформант Фурье Ф+(^) и EL (ц). Сходимость интегралов (6.40) следует из физических соображений, а также будет вытекать из далее построенного решения. На основании (6.39)' из (6.38) при б = О и и-*- О найдем
Ф+ (O) = — Ii2Ii12. (6.41)
При факторизации функции L (и) вида (6.36) могут представиться два случая:
и -J- ih, и — ih.
+ M = IA 1 -ь ’ L- (и) = TT= -I (6-42)
U У и + Ift2 у и — Ih2
(здесь факторизация производится относительно прямой I, лежа-
щей чуть выше вещественной оси);
„ и + ih, и — ih,
+ ^ = і Ґ-ТГІГ' ^ = ~лГ -I. ^6-43^
у и ih2 и у и — ih2
(здесь факторизация производится относительно прямой I, лежащей чуть ниже вещественной оси). Можно показать, что предельное решение интегрального уравнения (6.37) при 6-+0 в обоих случаях (6.42) и (6.43) с учетом (6.41) будет одним и тем же. Поэтому ограничимся, далее, рассмотрением случая (6.42); при этом функциональное уравнение (6.38) можно представить в форме
и 4- ih, V и — ih„ *
=~ <¦-«>(¦—ц +EUu)• (6-44)
Теперь с учетом соотношения
Уи — ih2 iTf / \ , iTf / \ iTf / \ h2 -J- іб
= ?+ (ц) + ?_ (Ц), ?+(ц) = :
б) Ihi) +У > +w У—і ^h1+'і б) (и—б)
(6.45)
из (6.44) получим
Ф+ (и) + У+ M = - V- (и) + EsL (и) = Г (ц), (6.46)
и у и-\- ш
где .Г (и)—регулярная функция на всей комплексной плоскости ?, — и-1- Ov.
Как видно из асимптотического решения задачи при больших X (6.22), функция ф(ж) имеет характерную особенность
230 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
(1 — Xі)-1/>; по-видимому, эта особенность сохранится и при малых % (в следующем параграфе будет доказана соответствующая теорема). Тогда функция ф«(0 должна иметь особенность вида t~'h в нуле и, следовательно, функция Ф+(5) должна вести себя при ? о» как t,-'1’. Таким образом, левая часть равенства (6.46) исчезает при и -*¦ о® как и~1, и по теореме Лиувилля Г(ц) = 0. В ре-
зультате из (6.46) имеем
V К + ib и VrU -j- ih
Ф+ (Ц) = “ 1/----- Ih Iu-M/ К, ¦ -,X • (6'47)
у — і ^h^ -f- (м — о) -f-
Теперь фб(0 можно определить по формулам
Фе(*)
2л
I
с-Ьіоо
Ф + (u)e~mdu=± J ^Mevtdp,
с-ізо р (6-48)
Ф* (р) = — РФ+ (ip)-
На основании (6.47) для Ф* (р) нетрудно получить выражение
Vh2 + гб ( hipVP + h2 i^PVp + h2
Ф*(Р) =
P + Ii1
Р + І8
. (6.49)
Используя далее таблицы интегрального преобразования Лапласа — Карсона [2], найдем
Фв(0 = —
Vk + ^ hi + б2
К
fin t
у== + Vh2- htf hlt erf V(h2 — Zi1) t
— гб
~flnt
l/nt
+ Vh2 - ibe~m erf V(ht - і6) t
(6.50)
Учитывая, что h2> Til и erf х -*¦ 1 (ж-^-оо), убедимся на основа-
нии (6.50) в справедливости первого допущения (6.31). При 6 = 0 из (6.50) будем иметь
®°(0 = -J Фо (0 = ф=
e—j=r +Vh2-Htf 1 erf V(К — ю t у Ui
(6.51)
Теперь нетрудно убедиться в справедливости первого допущения
(6.39). Если из (6.46) найти E-(U) = W-(U) а затем определить e-(t), то можно показать, что выполняется и второе допущение (6.39). Итак, главный член асимптотики решения интегрального уравнения (6.11) при малых % дается формулами (6.35) и (6.51).
7. Построим асимптотическое решение интегрального уравнения (6.19) при малых значениях параметра %, развивая идеи, из-
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с) 231
ложенные в § 3 (п. 5). Для этого продифференцируем его почленно по X и разобьем на следующую систему двух уравнений:
(— 1<ж < оо),
