Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ . sh 2г
ф(ж) =
пегх 1/2 (ch 2т— ch 2гх)
I -1
п_ 2г_ Г g3^V2(ch 2r-ch2rg)Ag) ? sh 2г J е2>|_е2« ttSJ-
(7.40)
Произвольную постоянную D выразим теперь через величину N0, используя дополнительное условие (6.19), которое можно представить в форме
1
= ? J t h) (e=th2r<l). (7.41)
§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
241
Подставляя сюда 'ф(ті) в виде' (2.36) гл. 2 и вычисляя интеграл, найдем
і
D - SKlJ /2(сЬ2г-сЬ2г6) Г (? сЦ -1
N1
О
2г Vi-
. (7.42)
Если в (7.40) и (7.42) положить }{х) = const, как это имеет место в интегральном уравнении (6.19), то получим
2 WVn
Ф(х) = ...°. .......• (7.43)
ле V2 (ch 2г — ch 2га)
Поскольку второй член в правой части (7.35) вносит относительно малый вклад при Ае(0, °°), то можем заключить, что формула (7.43) при всех X дает приближенное решение задачи, поставленной в п. 4 § 6.
Если в качестве /(ж) в (7.40), (7.42) подставить всю правую часть интегрального уравнения (7.35), то получим эквивалентное ему интегральное уравнение второго рода. Проводя далее с этим уравнением такие же рассуждения, как в п. 2 с (7.16), убедимся, что справедлива
Теорема 4.5. Если в интегральном уравнении (7.35) / (х) є Я? (— I, I) (V2 < а< 1) и решение ф(ж) этого уравнения при данном значении Ае(0, оо) существует в Lp(—I, 1) (1 <р < 2), то оно имеет структуру
ф (ж) ------¦ ы* {х) (7.44)
' е™ Vch 2г-ch 2га V ’
где и* (і)єЯ^(-1,1), причем "f = а при а<1 и 7 = 1 — 8 при а = 1.
7. Разовьем для интегрального уравнения (7.35) схему метода ортогональных функций. С помощью переменных и обозначений (7.38) представим его в виде
J *) = Hg (У) + ~ I n sh * ^ -h—г т, (Л, У, г) dn (Ы<1),
-1 -і _ (7.45)
ІА"1 (1 — х)\ = т'з (ті, у, г).
Выпишем, далее, следующие разложения:
оо 1
g(y) = 2 SnUn-I (у), gn = §¦ J Un-i (У) Vl- У2 g{y) dy,
-1
OO OO
(7.46)
¦ /. : ^rT тз (Л, У, r) = 2 2 <'nm{r)Tn{Vi)Um—i(y)l
V* "Г е tI/ т=1 п—О
=O
16 В. М. Александров, В. в. Коваленко
242 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
OO
Cnm {Г) = (— 1)п+т_1 -J^ Im- J (^Zl) *‘U + 1^n — 1^x
— OO
XPT1?-1 (Ch 2г) PZfll+1 (ch Ir) du, ц = (7.46)
(а)„ = а(а+ 1).. .(а+ п— 1), (а)0 = 1, ^„ = 2, ^0 = I.
Здесь Pv (х) —шаровые функции [7], Un (х) — полиномы Чебышева второго рода.
Решение интегрального уравнения (7.45) в соответствии с теоремой 4.5 будем искать в виде
OO
~=УапТп(у). (7.47)
У
Внося (7.46), (7.47) в (7.45) и используя формулы (6.3) и (6.4) гл. 2, придем к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а„:
оо
а-п = gn + с0п (г) Я0 + 0,5 2 Cmn (г) ат (п = 1,2,...). (7.48)
7/1—1
К этой системе необходимо добавить еще одно уравнение, которое получим, подставляя (7.47) в дополнительное условие (7.40),
' О
2r Vl — е2 п=о
^all -1Y. ,15, V е /
Подобно тому, как это было проделано в § 8 гл. 3 и п. 4, для бесконечной системы (7.48) могут быть доказаны леммы и теоремы, обосновывающие ее разрешимость в пространствах Z2 и Z1. Решив бесконечную систему (7.48) (например, методом редукции), найдем затем решение интегрального уравнения (7.35) по формуле
ОС
ф (ж) = '«т7?; fp2" 2йнТп
е у L (ch 2г — ch 2гх) ~0
В заключение этого параграфа заметим, что поскольку интегральные уравнения (7.8) с ядром (7.3) (нечетный вариант) и
(7.37) с ядром (7.36) решаются в замкнутом виде, то в замкнутом виде могут быть также решены: интегральное уравнение
(6.11) с общей правой частью /(ж) (нечетный вариант) и ядром
оо ^
, Г cth (и/с) P1 («') ,,
JiU)= \------—- ..,-cos ut du.
wJ 11 PJa2) *
§ 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ
243
где Pi(u) и Рг{и) —полиномы степени п; продифференцированное интегральное уравнение (6.19) с общей правой частью f(x) и ядром
P2 (?2)
Это может быть проделано по схеме, изложенной в конце § б гл. 3 и в § 2. Указанным путем может быть построено приближенное решение задачи типа с), эффективное при всех значениях к S (0, оо) .
С примерами постановок и решений задач типа с) можно еще познакомиться по работам [27—29].
§ 8, Контактные задачи при учете сил трення
Последние два параграфа этой главы посвящены рассмотрению смешанных задач, которые не предусмотрены классификацией, данной в § 7 гл. 1, по которые, однако, часто встречаются и представляют практический интерес. Здесь исследованы плоские коптактные задачи теории упругости для полуплоскости и полосы, когда в области контакта жесткого штампа с границей упругого тела нельзя пренебречь силами трения.
1. Приведем вначале решения некоторых вспомогательных задач.
Пусть бесконечный упругий слой находится в условиях плоской деформации и его нормальное сечение — полоса занимает область \х\ < 0 ^y (рис. 4.4). Нижняя
грань полосы либо шарнирно (1), либо жестко (2) защемлена, а на верхнюю грань на участке ]ж]<я действуют нормальное давление q(x) и касательные усилия т(ж). В соответствии со сказанным граничные условия будут иметь вид
