Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
можно обосновать абсолютную сходимость и степенной рост бесконечного произведения S(p) вида (5.10) в полосе ?0-1=? < Re р =? со. А тогда имеет место равенство I (р) I = = 0(1 Impl8 ехр (—л Ilmpl) (Ilmpl -+¦ оо), из которого следует, что интеграл (5.5) сходится, а также существует обращение преобразования Меллина функции и(р). Таким образом, ограничения, налагаемые на функцию и(р), полностью оправданы.
Установим, далее, асимптотику решения ^(s) при s оо с помощью алгоритма, изложенного в работе [22]. Следует отметить, что формулу (5.10) определяет решение и(р) разностного уравнения (5.9), регулярное в полосе со — I =? Re р =? со. Для дальнейших рассуждений потребуется аналитически продолжить функцию и(р) через прямую Rep = co. Осуществим такое продолжение при помощи уравнения (5.9), считая его справедливым в полосе со =? RepsS со + 1. Будем иметь
Покажем, что функция и(р), определяемая выражением (5.11), имеет полюс в точке P = V2. Действительно, в силу (5.11) u(V2)= V2tg(it/2)u(—V2), а в точке р = —V2 функция и(р), как видно из (5.10), регулярна. Отсюда следует, что первый член асимптотики решения ^(s) (5.5) уравнения (5.3) при s -*¦ оо
определяется в силу упомянутой выше теоремы Коши значением вычета 4f (р) в точке P==V2, т. е.
2 (” — P — 1Zг) (” + P — V2) (п— р) (п + р)
IГ (ж + iy) I = У2п\у\х~1пе~пып [1 +0(у~*)] (|г/| оо),
M(p + l) = (p + l)tgJtpB(p) (P^L).
(5.11)
(s) — Z?S 1/2 (sOO) ,
B = — Iim (р — V2) xIr (P) (D = const).
(5.12)
p->V2
§ 5. СВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ
219
Из (5.12)' в соответствии с равенствами 1F(P) = P 1и(р), (5.10)' и (5.11) найдем
D = — и(— 1I2) Iim (р + V2) tg ^p = С. (5.13)
р -*->/«
Удовлетворяя теперь дополнительному условию (5.4), получим согласно (5.12), (5.13) C = I и тем самым окончательно построим решение поставленной задачи [23].
В заключение этого параграфа приведем некоторые результаты решения неоднородных разностных уравнений со сдвигом [21] вида
и(р — Ъ) = F (р)и(р) + f(p) (P1=L). (5.14)
Здесь, как п выше, требуется определить функцию и(р), регулярную в полосе между прямыми L: Rep = со и Re р = со — Ъ и
стремящуюся к нулю при Ilmpl оо.
Предположим, что коэффициент уравнения (5.14) можно разложить в произведение F(p) = Fi(p)F2(p), где Fi(p)—элементарная функция, т. е. такая, для которой решение однородного уравнения (5.14) легко строится, а функция F2 (р) на мнимой оси удовлетворяет, условию Гельдера, имеет индекс1), равный нулю, не обращается в нуль и на бесконечности достаточно быстро стремится к единице. В этом случае будет справедливо, как показано' в [24], каноническое решение, приведенное ниже.
Рассмотрим различные сочетания параметров b и о. Пусть Ъ = 0; тогда уравнение (5.14) превращается в следующее: u(p) = i(p)[l~F(p)]-1 (pe=L),
и контур L можно провести как слева от мнимой оси, так и справа. Если Ъ< 0 (Ъ> 0), то число со < 0 (со > 0) подберем
таким, чтобы в полосе со =? Re р < 0 (0 < RepsS со) функции
F1(P) и F2 (р) не имели нулей. В этом случае каноническое решение однородного уравнения (5.14) и0(р — b) = F(р)и0(р) (ре ^ L) запишется в форме
uo(p) = xi (р)хЛр),
Xz(P) = Y(P)Fz1(P) (&<Rep<0, 0<Rep<&),.
X2 (P) = Y(P) (0 <Rep< — Ъ,—Ъ<. Rep < 0),
Іоо
— %оо
') Индексом непрерывной, не обращающейся в нуль комплексной функции g(t) = gi(t) + igt(t) (|f| < оо, g(оо) =g(—оо)) называется изменение аргумента g(t) на действительной оси, выраженное в полных оборотах:
OO
Ind^i)=2^[argg(i)1- = 2i[lng(i)1—=2ЇЇ] I rflng(i)‘
— CC
О свойствах индекса см., например, [17].
Y(P)
= ехр Г
220 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Здесь Z1 (р)— решение однородного уравнения, Z1 (/?—&) = = F1 (р) X1(P) (p^L), которое строится, например, методом
Барнса.
Общее решение неоднородного уравнения (5.14) имеет вид
и(р) = и0 (р)[С + COS (лЪ 1P) Z(p)},
Z(p) = W (р) — g(p) (&<Re/?<0., 0<Re/?<&),: ,5 16,
Z(p) = W(p) (0 < Re /7 5? — Ъ, —& <Re/7<I 0),
где С — произвольная постоянная, определяемая из физических соображений.
В качестве примеров приведем некоторые канонические решения однородных уравнений, которые могут быть построены в за-
мкнутом виде [21]. Пусть F1 (р) = cctg2 тогда Z1 (р) = с р,ь X Xcos-2-^- (0 < с = const); пусть F1 (/7) =-|ctgjj^y, тогда
Отметим еще связь между решениями разностных уравнений со сдвигом (5.14) и формулами метода Винера — Хопфа (§ 9 гл. 2). Полагая в (5.15), (5.16) Ь = ±оо, найдем
и(р) = и0(р)[С + Z(p)},
Z2 (р) = Y (р) F21 (р), Z(p) = W(p) —g(p) (Re/7<0),
*2 (P) = Y (/7), Z (/7) = W (р) (Re р > 0).
При b = оо здесь нужно поменять местами неравенства. В то же время функциональное уравнение (5.14) при Ь = ±оо и со ±°° ( I CO I < IЫ) можно рассматривать как задачу Римана (2.30) гл. 2 на мнимой оси или, что в данном случае то же самое, как задачу Випера — Хопфа. При этом по формулам типа (9.23)-(9.26)
[21]
При этом в случае Ъ = —°° имеем
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТІІПА с)
