Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
°х = In f y^е ІаХ(1а’ г
причем прямая Г должна лежать (в предположении экспоненциального убывания ах при ж-»-°°) ниже вещественной оси. Учитывая это при использовании формул (6.4) — (6.6), приведем задачу с граничными условиями (6.12) по обычной схеме решения смешанных задач к интегральному уравнению
- а
J T2 (6) *1 dg = я0у (и<а, 9 = г),
(6.14)
/с /к = А Г__1 +.ch 2A-
W 2JU2S+sh2Qe
Г
Конкретизируем также Б*(а, у) в (6.13):
v / , n.rp / ,[2 chafe—ah sh ah] ch ay + ay ch ah sh ay
x'a’ y>-----ZiiAa) 2ah + sh 2ah ’ (b ^
Здесь T2 (a) — трансформанта Фурье функции т2(ж) = т2(ж]і (I ж I sSa), T2 (ж)’= О (Ы >а), определяемая формулой
а
T2 (a) = f xAl)eialdl (6.16)
В силу теоремы 1.14 на всей комплексной плоскости а функция Т2(а) является целой функцией (можно показать, что при а-»-00 функция T2 (а) ведет себя как |ah'/s exp(a|Im a I)). Далее, по формулам (6.13) и (6.15) найдем h
О (ж > а),
о г I^-1Z72(O) (ж<-а),;
4 Jm*. у)^ = Шг\Т-^е iaxda =
0 Г ' - - 2 '
(6-17)
а на основании (6.16) и (6.3) имеем
Тг (°) If T
h =-h) XADdl=Ji=V. (6.18)
— а
В безразмерных переменных (6.10) и
<р(ж')= т2(ж)0_‘, ч' = Ча~\ N0 = R(UQ)-1
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА С) 225
уравнение (6.14) и условие (6.18) примут вид (штрихи опускаем)'
Ядро (6.14), пользуясь результатами § 1 гл. 2, можно представить в форме
где k(t) дается формулой (6.9). Уравнение (6.19), (6.20)' совпадает с (7.1) гл. 1, (1.18) гл. 2 и вновь соответствует случаю с)’ при C = V2.
5. Построим асимптотические решения интегральных уравнений (6.11) и (6.19) при больших значениях параметра К. Пользуясь формулами (1.23)-(1.25) гл. 2, представим ядро k(t) вида (6.9) в форме (C1 = б = 0)
Далее, раскладывая cos ut под интегралом в выражении l(t)' в ряд по ut, придем к соотношениям (8.2) и (8.4) гл. 2, причем d0 = R2 + d* — бесконечная постоянная, dt = 0,1368, d2 = = —0,0832, а ряд (8.4) гл. 2 (п>1) абсолютно сходится при Ul <2.
В соответствии со сказанным интегральное уравнение (6.11) можно записать в форме (8.5) гл. 2, где f(x) = —x/2. Уравнение
(6.19) с учетом (6.20) также можно представить в форме (8.5)] гл. 2, где f(x) = if+i(M “ xN0) (4А.)-1. Воспользовавшись далее формулами (8.20) и (8.22) гл. 2, получим следующие асимптотические решения: для уравнения (6.11)
-і
-і
*i (t) = k(t) — Ct,
(6.20)
к (t) — — In 111 + R2 + d% + I (t),
OO
0
226 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Практически формулы (6.22) и (6.23) можно использовать при к >2.
6. Построим асимптотическое решение интегрального уравнения (6.11) при малых значениях параметра X, развивая идеи, изложенные в § 10 гл. 2. Для этого продифференцируем его почленно по х її рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение *)'
з
J фе(S)Г (Lzi.) ^ = е~{6х!Х (UI<1),
_1 оо (6-24)
г (t) = J L (и) sin ut du = Y1 j* L(u)elUtdu,
О —00
где L (и) имеет вид (6.21). Если будет получено решение уравнения (6.24), то решение ф(ж) исходного уравнения (6.11) может быть, очевидно, найдено как предел ф«(ж) при б -*¦ 0.
Расчленим теперь (6.24) по аналогии с (10.3)-(10.5) гл. 2 на систему трех интегральных уравнений
OO
- 11’*(т)r(iTi)G=Tru*' <-“<*<¦»>. (в-й)
— OO
OO
Іffl,a (1Ti)r (4Ti)- 5T гтл +
-1
+ I [“¦• (1T1) - « (I)] r (1Ti)* (- 1 < * < ~>. (8-29)
— 00
1
— 00
00
+ jo)ie (i-i-L) — Уб(г) (—оо<ж<1). (6.27)
1
Нетрудно убедиться, что после определения из этой системы функций V6(t), (Оіб(?) И (O26(t) решение уравнения (6.24) может
') Здесь функцию r(t) следует понимать как предел при E1 -э-0 и е2 -•О интеграла
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
227
быть представлено в форме
Фв(*) = ©1в + (г) (6.28)
Как было показано в § 9 гл. 2, решение интегрального уравнения (6.25) легко находится с помощью теоремы о свертках для
преобразоваоия Фурье. Именно, будем иметь
MOe-W (б) J-V"*. (6.29)'
Интегральные уравнения (6.26), (6.27) очевидной заменой переменных приводятся к виду
CC
J ®іб (т) г (х — t) dx =
О
OO
= — \ e~i6^~k 1^-J Ico26 (т) — V6 (^-1 — т)] г (т + t — dx,
2/Х ' '
(6.30)
CO
J ю2е (т) г (т — t) dx =
О
OO
= ne—ib(\ !-f)_ J [©^(т) — і>в(т —AT1)] r/т + t — ~\dx
2/Х ' '
(O^ t < оо).
Допустим, ЧТО при tOO имеют место соотношения
®is (t) — V6 (t — Ar1) ~ (о2« (t) — Vi (Ar1 — t) ~ е_(И (6.31)
(далее эти допущения будут оправданы). Кроме того, заметим, что с учетом свойств функции L (и) вида (6.21) можно убедиться в справедливости следующих асимптотических соотношений для ядра (6.24):
r(t)=^j + 0(t) (?->0), r(t) = ^-sgn* +0(е~^) (?-> оо).
(6.32)
С помощью (6.31) и (6.32) оценим последние слагаемые в правых частях (6.30). Можно показать, что эти интегралы по ^ имеют порядок е_2РА, при t-*- О ведут себя как О (In t), а при t-*¦ оо — как 0( 1). Ввиду малости указанных интегралов в (6.30) при малых X главные части функций <»i«(?) и (o2S(?) определим 15*
