Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ьф = я f{x) (UI^l), (7.8)
может быть построено в замкнутом виде. Для этого перепишем
(7.8) с учетом нечетности функций ф(ж) и f(x) следующим образом: і
dl = я/ {х) (0^ж<:1).
— J Ф (S) In
«Ь лС ~ Х) 2 к
shfE?|±j)
(7.9)
Введем теперь новые переменные и обозначения по формулам
пС ^ th re, _____________ th тх
(7.Ю)
Г ~ 2Я ’ 11 th т ’ У th г
Iji (у) = г" th г с1і2гжф (х), g (у) = / (х).
7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
235
Тогда (7.9)' примет вид 1
— JiI5OiHn = nS(у) (7-11)
о
Решая интегральное уравнение (7.11), в согласии с формулой
(2.36) гл. 2 найдем
(7Л2)
откуда, возвращаясь к старым переменным и обозначениям в соответствии с (7.10), получим
’<*»- дате <7И>
Если в (7.13) положить f(x) = —x/2, как это имеет место в интегральном уравнении (6.11), то с помощью сингулярного интеграла і
1'
-1
Vi — Г]2 dr) ny Vi - ег
(I*к 1' -СИР-14)
и с учетом соотношений (7.10) найдем
Ф (я) = - —...IhZf, (7.15)
^/2 (ch 2r—ch 2гх)
Поскольку член Мф в (7.7) вносит относительно малый вклад при Я<=(0, оо), то придем к выводу, что формула (7.15) при всех Я дает приближенное решение задачи, поставленной в п. 3 § 6.
Рассматривая далее в качестве f(x) в (7.13) всю правую часть /(я)-я-‘Мф интегрального уравнения (7.7), приведем его к эквивалентному интегральному уравнению второго рода
Yt-'-
(7.16)
Если теперь допустить, что существует решение интегрального уравнения (7.16) ф(г)аір(-1, 1) (1<р<2), то нетрудно убе-
диться в следующем:
/(ж)-я_1МфєЯ?(-1,1). (7.17)
Далее, на основании свойств сингулярных интегралов типа -(3.4)' гл. 2 придем к заключению, что
236 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
(¦у = а, когда а< I; ^ = 1 — е, когда а = 1) . Таким образом, справедлива
Теорема 4.3. Если в интегральном уравнении (7.7) нечетная функция f(x) принадлежит #“(—1,1) (V2<a^l)’ и решение ф(ж) этого уравнения при данном значении % є(0, оо) существует в Lp (—1, I) (1 < р < 2), то оно имеет структуру
Ф (х) =-------^M=, (7.18)
ch тх Vch 2г — ch 2тх
где нечетная функция (о* (я) принадлежит Hl (— 1,1), причем ¦у = а при а<1 и 1Y = I- є при а = 1.
3. Заметим, что спектральное соотношение (6.11) гл. 2 в частном случае (для нечетных значений п) может быть записано в виде
і
___ Г ^2711+ I (tI)
Tl2
In
4-У
ЙЛ = 2^-T Тгт+Лу)
Ц-гУ
(0^ I; m = 0,1, ...). (7.19)
Переходя в формуле (7.19) к переменным х и | согласно (7.10), получим новое спектральное соотношение [26]
1
sh г (I — х)
Г Г2ш+1 (tI) 1п J Vch 2г— ch 2г?
о
sh г (I + х)
= nlmT2m+1(y) (|ж|<1),
ch rg
(7.20)
= [ V2 г ch г (2m + I)]-1,
имеющее непосредственное отношение к интегральному уравнению (7.9). Действительно, если, используя условие ортогональности
CT (тії T (Trt f ^ (тФп)і
-'/'¦ill" T^^Ldl = \ я , . (7.21)
J Vch 2г-ch chrg (4 V2 rch г =
разложить функцию f(x) в ряд
OO
f(x)=2 ІіТіі+і(У), (7.22)
і= О
то для функции (0? (х) в (7.18) на основании (7.20) нетрудно получить выражение
(0.
:(*) = 2 Mr1TVi OO- (7.23)
Когда f(x) принадлежит указанному выше классу функций, следуя результатам, приведенным в § 1 гл. 3, для коэффициентов ft
§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
237
можно найти оценку (см. также (8.10) гл. 3)
/і ~ Г1-201 (і->0О), (7.24J
из которой следует, что ряды (7.22) и (7.23) сходятся равномерно.
По аналогии с (7.21) введем скалярное произведение и норму (сравните с (8.5) гл. 3)
U rt\= Г _______/ (I) g (I) dj Ii Л|2 _ f ______f (I) dl______
J1VcW^ESlchrE' 11/11 Ji Vch 27-ch 2rg chrg* u ^
Замыкание пространства нечетных непрерывных функций в норме (7.25) образует гильбертово пространство, которое обозначим через *Ь2-(—1,1). В этом пространстве совокупность {Tzm+i(y) ; т = 0, 1. ...}, где у дается выражением (7.10), представляет собой замкнутую ортогональную систему функций.
4. Используем Г26] спектральное соотношение (7.20) в схеме метода ортогональных функций (см. § 8 гл. 3) для построения решения интегрального уравнения (7.7). Будем искать функцию to.,, (ж) в (7.18) в виде ряда
оо
ю* (ж) = 2 ЩТ2і+і (У)- (7.26)
і=0
Заметим, что если со* (ж) принадлежит согласно теореме 4.3
классу Щ (— 1,1), то она тем более принадлежит *Lj2 (— 1,1).
Следовательно, справедливо равенство Парсеваля
оо
IKfl >/, = II Il ю* Iza = 2 e®i. (7.27)
L2 І=0
Далее разложим функцию /(ж) в ряд (7.22), а регулярную добавку ядра ma(t) вида (7.5) — в двойной рад
оо ос
тз (0 = 2 2 ешп{^)Т2т+1{у\)Т2п+1(у) (г = Ц^),
m=О и—о
р > _____32 (г ch г)2 ГГ_______тз (0 ^2m+i (tI) ^2)1+1 (У) ____
я2 JJ~l/(ch2r — ch2rg) (ch2r—ch 2га:) ch rg ch гх
(7.28)
О равномерной сходимости ряда (7.22) уже говорилось выше; ряд
(7.26) также сходится равномерно в силу свойств функции щ (х), указанных в теореме 4.3, причем (о,- ~ г“2т Ряд (7.28)
в силу свойств функции m3(t) равномерно сходится при всех Ul < I, III < 1 И А,Є(0, оо).
238 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
