Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
221
гл. 2 получим решение, в точности совпадающее с предельным решением (5.17). Метод Барнса при Ъ = ±°°— это фактически обобщение метода бесконечных произведений (см. конец § 9 гл. 2).
§ 6. Асимптотические методы решения смешанных задач
типа с)
Изучение задач типа с) начнем с конкретного примера смешанной задачи теории упругости о плоской деформации,
1. Пусть упругая полоса с характеристиками G и v (рис. 4.3) растягивается на бесконечности силами P1 = ph и P2 =
= qh, где h — толщина полосы. Грань полосы у = 0 шарнирно закреплена, грань у —
= h при \х\ >а не нагружена, а при \х\ =? а подкреплена жестким на растяжение и абсолютно гибким стрингером, к которому приложена сдвигающая сила Т. Очевидно, что должно выполняться условие равновесия полосы
P1 = P2 +Т. (6.1)
Требуется определить касательные напряжения х(х), возникающие в области контакта \х\ sSa стрингера и полосы.
Заметим, что решение х(х) данной задачи можно представить в виде суммы решений Ti(х) и X2(X) двух следующих задач: симметричной
Pi = P2 = Q = qh, T= 0 (6.2)
и несимметричной
Pl = R = Th, P2 = О, T = R (r = p-q)'. (6.3)
Обратим еще внимание на то, что в силу абсолютной гибкости стрингера нормальные напряжения в области контакта его с полосой отсутствуют.
2. Для исследования рассматриваемой задачи будем искать решение уравнений Ламе (2.4) гл. 1 без инерционных членов в полосе 0 =? у =? h в форме интегралов Фурье
11 у} = ш\и (а’ y^ e~iaXda> v (*. у) = IF е~Ш(1а•
г г
(6.4)
Здесь, в отличие от (3.5), а—комплексное число, а контур Г — прямая, параллельная вещественной оси. Для нахождения транс-
У' \c///S///, T л.
I А -а а I
W
о
Рис. 4.3
х
222 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
формант UnV вновь придем к уравнениям (3.6), из которых получим
U=U+ + ayU~, V = i(F+ + ayV~),
U+ = CL1 ch ay + b2 ay sh ay, U~ = bl(ay)~i sh ay + a2 ch ay, (6.5)’ V+ = (bi — яа2) ch ay + a2 ay sh ay,
V~ = (ai — xb2) (ay)~‘ sh ay + b2 ch ay,
где и = 3 —4v, a,j и bj (/ = 1, 2) — функции от а, подлежащие определению из граничных условий задачи, которые будут сформулированы ниже. Далее, по перемещениям (6.4), (6.5)’ в согласии с формулами (2.5) гл. 1 определим в полосе напряжения
ох = — J (?" + ay!,*) ae~iaxda, г
Vy = ~ j* + ауЯу ) ae~iaxda, г
%xv = (т' + аУт~) ue~iaxdar г
2* = (ах + 2vb2) ch ay + b2ay sh ay,
2 J = (bj + 2va2) (ay)~x sh ay + аг ch ay,, ^ ^
Zy = Ia1 — 2 (I — v) b2] ch ay + b2ay sh ay,
=> [bA — 2 (I — v) a2\ (ay)"1 sh ay + a2 ch ay,.
T+ = [^1 — (I — 2v) a2] ch ay + a2ay sh ay%
T~ = [ax — (I — 2v) b2] (ay)-1 sh ay + b2 ch ay.
3. Перейдем к изучению симметричной задачи (6.2)’, граничные услевия которой имеют вид
y'—h: #, = 0 (Ы<°°), Tiv = O (Ы>а)', и = Q (Ы«3а)',
у = 0: V = Txy = 0 (Ы<°°)‘, (6.7)’
Ox^-q, Vxy 0 (0 ^yzSh, ІжІ-^-оо)’.
Приведем граничные условия (6.7) к более удобному виду, для чего будем искать решение уравнений Ламе (2.4) гл. 1 в форме M = M0H-M1, V = va + V1, где и„ и V0 — перемещения в полосе, соответствующие решению симметричной задачи при отсутствии стрингера, Sl Ui и V1 — возмущения, налагаемые на перемещения точек полосы присутствием стрингера. Заметим, что функции и0 и Vt могут быть легко найдены и имеют вид
Me = (2G)_I(l — v)qx, i>o = —(2 G)~lvqy.
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)
223
Теперь с учетом (6.7) несложно получить граничные условия для добавочных функций U1 и Vi. Именно, имеем смешанную краевую задачу
у = h: Ct^ = 0 (I х I < оо), t(xy = 0 (1 х I > а),
U1= — (2G)_1(1 — v)qx (|ж|<а), у = 0: V1 = ViJjj = O (\х I < оо),
= T^->0 (0<ї/<й, U|->oo),
причем Tx1J = T1 (я) при y = h и |a;|sSa, где Ti(х) — нечетная функция.
При использовании формул (6.4) — (6.6) для решения задачи
(6.8) контур Г можно совместить с вещественной осью, поскольку добавочные напряжения исчезают на бесконечности. Учитывая это и следуя схеме решения смешанных задач, изложенной в гл. 1, приведем задачу с граничными условиями (6.8) к интегральному уравнению [25]
а
I
Ti (S) MSrjdS=* — Jqx (И<а)>
(6.9)
, ,I I + Ch 2м . ,
к (t)= -T5—j—7-5-т cos ut аи.
' ' Jm (2м + sh 2м)
о
В безразмерных переменных
х'= XCT1, !' = Icr1, X = Tfiari, ф(^') = Ті (x)q~> (6.10)
уравнение (6.9) примет вид (штрихи опускаем)
і
Jqj (6)fc(LjjL?)dg=-^ (И<1). (6.11)
-і
Последнее совпадает с уравнением (7.1) гл. 1, (1.15) гл. 2 с символом ядра K(u) = (i + ch2u)u~l(2u +$Ъ.2и)-\ соответствующим случаю с) при C = V2.
4. Граничные условия несимметричной задачи (6.3) имеют вид
y = h: Oy = О (Ы<°°), Tiv = O (\х\>а), и = у (|ж|^а)',
у = 0: V = Xxy = O (Ы<°°),
Тед-^0 (0 sSy Sgfti |z| оо),
Ox-*-г (0 sS у sS Ti, х ->¦ — °о), а*-»-0 (OsS у < h, х -*¦ °°),
где 1Y — перемещение стрингера в направлении оси х, вызванное приложенной к нему силой Т. Заметим еще, что Txv= T2(х) при У = h и Ы =? а.
224 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Согласно (6.12) и теореме 1.14 функция ах может быть представлена в форме интеграла Фурье
