Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
О
Решение интегрального уравнения (3.70) может быть получено методом Винера — Хопфа (см. § 9 гл. 2). Затем по формулам (3.63), (3.64) и (3.68) построим асимптотическое при малых X решение уравнения (3.62).
6. Изложим, наконец, на примере задачи п. 1 схему построения решения, равномерно пригодного при всех значениях параметра Xе(0, оо). Аппроксимируем символ ядра (3.9) следующим образом:
(и + т.) [и (и + I)]-1 К* (и) + M (и), (3.71)
где К%(и) пмеет вид (1.8), a M(и) дается выражением
.V
^(“) = 2тЬ- (3-72)
k±i и + ч
Тогда для ядра I (?), определяемого формулой (3.62), получим
OO
I (?) ж Z* (?) + т (?), l*(t)= § иК%(и) sinut du,
(3.73)
т (t) = J иМ (и) si и гг ? du = sgn t bhe
n fc=i
причем нетрудно убедиться, что m(t)^Il\ s(—R,R) (s>0, R < оо) и играет роль малой добавки к Z* (t).
Подставляя в продифференцированное уравнение (3.11) прп-ближенпое выражение (3.73) ядра l(t)., будем иметь і і
J q> (I) d% == nmXf (х) — Jcp (?) то (L==^)cZg (|жК1).
-X J1
(3.74)
206 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Заметим, что интегральный оператор, стоящий в левой части уравнения (3.74), может быть, как показано в § 2, точно обращен. С учетом этого равномерно пригодное по X решение задачи фі (ж), обладающее приемлемой точностью, может быть получено путем решения уравнения і і
J Фі (I) U (^Т^) = nmW (х) — J фо ® т (
-I -1
(3.75)
где фо(а:) — решение уравнения (3.74) с отброшенным интегральным членом в правой части. Более того, имеет место [8]
Теорема 4.2. Интегральное уравнение (3.74) с дополнительным условием (2.30) однозначно разрешимо при любом N < °° в классе со (ас) = ф (a:) Vl — a:2 ^?7(—I, 1), если f (х) є ЯІ/г+І (—1, 1) (е>0) при Х<Х* и Л>Я°, где Л* и X0— некоторые фиксированные значення X, и имеет место соотношение корректности
Il (0 (х) Ic < in* {N) Il / (х) Il 1/2+е. (3.76)
Н1
Для доказательства теоремы необходимо привести уравнение
(3.74), обращая стоящий в левой частп оператор, к виду
со = (O0 + Aco
и показать, что А является оператором сжатия в С(—I, 1) при X < X* и X > X0.
В заключение заметим, что с задачами типа Ь) можно, например, еще познакомиться по работам [13, 14].
§ 4. Интегро-дифференциальные уравнения Прандтля
и Штаермана. Основные методы нх решения
В предыдущем параграфе при рассмотрении частных случаев задачи Ь) возникла необходимость исследования интегро-диффе-ренциальных уравнений Прандтля и Штаермана. Вообще, эти уравнения играют важную роль в теории смешанных задач. Например, к уравнению Прандтля приводится задача об обтекании идеальной жидкостью тонкого крыла конечного размаха [11] или задача о взаимодействии упругой на растяжение, но абсолютно гибкохі накладки с упругой полуплоскостью [9]. К уравнению Штаермана приводится задача о вдавливании штампа в упругую полуплоскость, граница которой армирована слоем винклеровских пружин — шероховатостей [3]. В этом параграфе изучим указанные янтегро-дифференциальные уравнения для случая постоян-
§ 4. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
207
иых коэффициентов, а именно рассмотрим уравнение Прандтля
1
Jf=T^ = 1W (x) — nf(x) (UKl)
ири граничных условиях
)(-1)=0, Ф(1) = Р
и уравнение Штаермана
1
J*j= л/(ж) —я|хф'(ж) (UKl)
— 1
при интегральном условии
P = U (l)d\.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
і. Как следует из результатов предыдущего параграфа, ин-тегро-дифференциальное уравнение Прандтля (4.1), (4.2) эквивалентно интегральному уравнению вида і
1 +-^sgnd-x)]dl =-^-P— nf(x) (UK1)-
ф'№)
(4.5)
С учетом зтого на основании теоремы 2.13 и замечания, сделанного на с. 94 § 8 гл. 2, можно утверждать, что если при заданном (х решение уравнения (4.5) существует, то функция ф^ж) имеет вид
([' (х) = (й(ж)(1 — х2)~ч\ (О (ж) є Щ(— 1, 1),; у = inf J — є),
(4.6)
когда / (х) є Hq (— U 1) (0<а^1). Далее, с помощью оценки
і Ф (Xi) — Ф (х.2) 1 =
Ф '(Ddl <11 ф'(г) Ilp Ui- х2\т + т = Ij
(4.7)
убедимся, что решение ф(^) уравпеиия (4.1), (4.2) принадлежит классу Іі\!г~г (— 1, 1).
Сведем теперь пнтегро-дифференциалытое уравнение (І.1),
(4.2) к эквивалентному интегральпому уравнепию Фредгольма
208 гл- 4- МЕТ0ДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
второго рода. С этой целью воспользуемся формулой (2.36) гл. 2. решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на конечном отрезке. Будем иметь
(4.8)
Обе части последнего равенства проинтегрируем по г и примем во внимание зпачение интеграла [7]
dl _ I Irr1-Eg+ K(I-S2)(I-^s).
Vl — I2 (і — х) 2 Vl — X2 1 — \х — V[l — S2) (l — X2)
(4.9)
тогда получим
I iw (і) - / и)]in lziTji ~4г ^+
Zjt J 1 — Є* — К (! — ?а) (! — *а)
—г
і
+ Q1U arcsin ж + Q2 (|ж|^1). (4.10)
Удовлетворяя граничным условиям (4.2), найдем
Q1 = P, QZ = 0,5P. (4.11)
Итак, уравнение (4.1), (4.2) равносильно следующему интегральному уравнению:
і
ф(*) + -^ ^k(l,x)q{l)dl = g(x) (|z|<l),
-I
к (I, х) = In 1 ~ S-T =J-H1 , (4.12)
