Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
I & — V(і — I2) (l — X2)
I
8 № = тгarcsin * + т + ш J к №>*)/(&) dI-
-X
В пространстве Lz (—I, 1) (4.12) представляет собой уравнение типа (3.24) гл. 1 с самосопряженным и вполне непрерывным оператором А. Согласно теоремам 1.3 и 1.4 при условии
-V2
|(х|<2зх| I §k2(l,x)dldx
-і -і
1,9 (4.13)
решение уравнения (4.12) можно построить либо методом последовательных приближений, либо в виде сходящегося степенного разложения по (х.
§ 4. ИНТ ЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
209
Теперь изложим методику сведения интегро-дифференциаль-иого уравнения (4.1), (4.2) к эквивалентной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Представим функцию а>(а:) в (4.6) в виде ряда
CO
{х) = у'(х) V\ — хг — апТп(х) (|ж|<1), (4.14)
где Тп(х) — полипомы Чебышева первого рода (6.1) гл. 2. Такое представление возможпо в снлу того, что (й(х)<=НІ(—1,1); при этом ряд (4.14) сходится равномерно. На основании (4.14) имеем
OO
ф(ж) = 2 anFn{x), Fn (х) = — п~г sin пв (4.15)
Il=Q
F0(^)=Jt-B, 0 = arccosz,
и первое граничное условие (4.2) удовлетворено. Удовлетворяя второму граничному условию (4.2), найдем
СZ0 = Jt-1P.
(4.16)
Далее разложим /(ж)єЯ“(— 1,1) в равномерно сходящийся ряд по полиномам Чебышева второго рода (6.1) гл. 2:
f{x)=^ifnUn-i{x) (Ы<1).
(4.17)
Подставляя (4.14), (4.15) и (4.17) в уравнение (4.1) и принимая во внимание интеграл (6.3) гл. 2, получим соотношение
sin пВ
I0 (jt 0) 2
sin nQ sin 0
Умножим обе части (4.18) на sin BsinmB и проинтегрируем в пределах от О до я. В результате придем к бесконечной алгебраической системе относительно коэффициентов ат:
““ {j&m Ctyi) Ч" &п^тп п=1
Ь± = П/2, Ът = О (яг> I), C1 = л2/4,
€т = — 2т [(— l)m + 1] (т? — I)-2 (т > 1),
етп = 2т [(- l)m+n + l] [{т - nf - I]-1 [(т + nf - I]-1 (т?=п — 1, тФп + 1), „ = еп+1_ „ = 0.
14 В. м. Алексаадрої, 1. В. Кохалеако
fm (т — 1,2,...),
(4.19)
210 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Введем В рассмотрение сумму = (« = 1,2,...).
На основании оценки
Sm <2 [тг1 + m(mz — 4)_І + иг In т(тг — I)-1 +
+ то In (иг +2) (иг2 — I) -1] (4.20)'
(т = 3, 4, ...),
данной в работе [15], можно показать, что бесконечная алгебраическая система (4.19) вполне регулярна при
IfXl < л/12. (4.21)’
После решения системы (4.19) коэффициенты при особенностях в точках ж = ±1 у функции ф'(а:) могут быть найдены соответственно по формулам
OO OO
D1 (fx) = ,S ап, D2 (|х) - 2 (- 1)”^- (4.22)
71=0 71=0
Оценки (4.13) и (4.21) показывают, что интегральное уравнение Фредгольма второго рода (4.12) и бесконечная алгебраическая система (4.19), а следовательно и интегро-дифференциаль-ное уравнение (4.1), (4.2), эффективно решаются при достаточно малых значениях параметра jx. При больших значениях (X нетрудно получить вырожденное решение уравнения (4.1). Именно, устремляя j-і к бесконечности, из (4.1) имеем
Фо (ж) = \x~lf(x). (4.23)
Однако в общем случае решение (4.23) не удовлетворяет граничным условиям (4.2).
Приближенное решение интегро-дифференциального уравнения (4.1) при больших (X > 0, удовлетворяющее граничным условиям (4.2), может быть получено с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений [16]; для этого введем некоторые определения. Под внешней областью будем понимать интервал —I + Z2[x-1 sS х I — ?i(x_I, на котором в качестве решения уравнения (4.1) с достаточно малой ошибкой может быть принято вырожденное решение (4.23). Внутренними областями назовем малые окрестности точек х = ±1 с размерами и Z2[x_I
(Z,,Z2~1). Во внутренних областях должны быть построены решения типа пограничного слоя, которые бы на границах областей x=l -Z1JX-1 и ж = —! + Z2JI-1 плавно сращивались с вырожденным решением (4.23), а в точках ж = ±'1 обеспечивали бы выполнение граничных условий (4.2).
Покажем, как строятся решения типа гг о гра личного слоя лля частного случая /(а:)=ц. Согласно (4.23) для этого случая фч(.г)=1, її раїшенпе (7J-I) можно переписать следующим
§ 4. ИНТЕГРО-ДІІФФЕРЕНЦИАЛЬНЬІЕ УРАВНЕНИЯ
211
образом:
і
= (Ia-I^I)j (4.24)
-г
где обозначено
¦ф(а:) = ф(ж)— ф0(а;). (4.25)
Очевидно, что во внешней области функцию і}) (ж) с достаточной точностью можно принять равной нулю.
Растяпем теперь окрестность точки X = Ї ъ уравнении (4.24) путем перехода к новым переменным
т = |х(1-|), г=ц(1-а;), і|з (х) = ?+ (t) (4.26)
її устремим затем (х к бесконечности при фиксированном t. В итоге будем иметь следующее уравнение для определения функции і})+ (t) типа пограничного слоя в окрестности точки
X= 1:
CO
C 'ФІ (т) dx
)-~Г- = М>+(*) (0< і < оо). (4.27)
о
С учетом (4.2), (4.25), (4.26) к уравнению (4.27) нужно добавить граничное условие
?+(0) = P-I. (4.28)
Аналогичным образом, растягивая окрестность точки х = —1 в (4.24), получим уравнение
Г V- W dx
J ¦ т _ -— = (t) (0 ^ t < оо) (4.29)
о
с граничным условием
?-(0)=-1. (4.30)
Срастим, далее, функции ?+ (t), ?- (t) с “ф (ж) = О на границах X= і — Zifx-1, x = —i + Z2(x_I внешней и внутренних областей. Именно, положим ^(Zi) = Ip-(Z2) = O. Считая, что здесь Ii и I2 достаточно велики, получим дополнительные граничные условия к интегро-дифференциальным уравнениям (4.27), (4.29)
