Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 76

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 105 >> Следующая


г. і l\ [-fIix) (1ж1^я)> / Il4 (т(ж) (IxIs^a),

Oy(x,h) = { 41 ' Txv (xt h) = ] V| f8<|\

10 (М >а), VK 10 (М>«), (ЙЛ)

I) у(ж, 0)= !^(ж, 0) = 0, 2) v(x, 0) = и(х, 0) = 0;

кроме того, напряжения на бесконечности, т. е. при \х\ -*-<», исчезают.

Используя уравнения Ламе (2.4) гл. 1 без инерционных членов и применяя для решения краевой задачи (2.4) гл. 1, (8.1) интегральное преобразование Фурье по переменной х, с помощью формул (6.4)-(6.6) найдем следующие выражения для транс-16*

УI

X

G1V

о

Рис. 4.4
244 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ

формант перемещений верхней границы полосы v (х, h) и u(x,h)':

V (a, h) = — [L11 (ah) Q (а) — IeL12 (ah) T (а)],

! (8.2)

U (a, h) = [L22 (ah) T (а) + IeL12 (ah) Q (а)].

Здесь 0 = G(l-v)-1, s = (1 — 2v):[2(l — v)]-1, G и v —упругие

постоянные полосы, Q(a) и T(а) определяются соотношениями

а а

Q (a) = fg (I) eialdl, T (a) = J т (І) еіаЧ%, (8.3)

т , ч ch 2м + I , . , sh 2и — 4 (и — 1) 1W /о /\

2«’ bM =-------------------ІЬ2И + 2И----------5

а функции Lij(u) (і, j = I, 2) имеют вид: для случая 1)

Lii(U) для случая 2)

j_________________________________________________________2? sh 2и + 4ц_ г / \ _ 2? (ch 2и — 1) — 8 (и — 1)~*ц2

ii_ 2? ch 2« + 4м2+ 1 + х2 ’ 1 2и ch 2м + 4м2 + 1 + и2 ’

(8.5)

где знак «—» берется при г = 1, а знак «+» — при і = 2, к = = 3 — 4v.

2. Пусть теперь верхняя граница полосы на интервале Ы < а взаимодействует с жестким штампом и в области контакта присутствуют силы трения х(х). Граничные условия такой контактной задачи будут иметь вид

Oy(х, h) = 0 (Ы>я), Xxy(Xih) = O (Ы >а),

Хху(х, h) = x(x) (\х\ =? я), v(x, h) = —8(x) (Ы sSa), (8.6)'

б (х) = б + ах — g (х);

кроме того, напряжения при \х\ ->¦ °° исчезают. В (8.6) величина б определяет поступательное перемещение штампа вдоль оси у, ах— его поворот, функция g(x) описывает форму основания

штампа.

Определив по формулам (8.2) и (6.4), где контур Г можно совместить с вещественной осью, перемещение V(х, h) и удовлетворяя четвертому граничному условию (8.6) (остальные гранич--ные условия (8.6) удовлетворены в ходе решения вспомогательной задачи), получим следующее интегральное соотношение:

а а

j + е J T(S)A12(I^dg = JteeOc) (М<а),

г^и (“) Км ^8,7^

A11 (t) = I —cos ut du, k12(t) = j —sin utdu,
§ 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ

245

Для замыкания постановки задачи нужно еще сформулировать какое-то условие связи между функциями q(x) и х(х). Будем считать, что эта связь дается законом Кулона с коэффициентом трения, зависящим от координаты х, т. е.

х(х) =—к(х) q(x). (8.8)'

Подставляя (8.8) в (8.7), получим интегральное уравнение относительно функции распределения контактных давлений q(x):

а ¦ а

j g(g)An^Lz?)dg_e |м?)г(?)*1а(иг)^=я0б(*)

— а —а

(8.9)

В следующем параграфе будет показано, как могут быть Построены асимптотические решения уравнения (8.9) для случад, когда к (х)= к = Const.

3. Устремляя в (8.9) параметр X к бесконечности, получим интегральное уравнение задачи о взаимодействии жесткого штампа с упругой полуплоскостью при учете сил трения:

а а

j" q il) [— In IS — XI + d*] ds — j* k(l)q(l) sgn (I — x) dl =

—a —a

= я0б(ж) (I XI ^ я), (8.10)

где d* — бесконечная постоянная. Дифференцируя уравнение (8.10) един раз по х и вводя новые переменные и обозначения согласно формулам

I' = la~l. x' = xa~l, q>(x') = q(x)Q~l,

$(х') = к(х), f(x') = 8'(x) (8.11)

(штрихи у х' и 1' далее опускаем), будем иметь і

J dl + лер (х) ф (х) = nf' (х) (I ж I ^l). (8.12)

—і

Для изучения уравнения (8.12) при условии (6.19) можно применить общую теорию решения сингулярных интегральных уравнений [30, 31]. В целях простоты ограничимся, далее, рассмотрением случая плоского штампа, вдавливаемого без перекоса (аг=0). Тогда б(х) = б = const и f'(x) = 0.

Исследуем две следующие ситуации:

1) Штамп под действием прижимающей силы P и сдвигающей силы T находится в состоянии предельного равновесия либо
246 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ

движется*) с постоянной скоростью вдоль границы полуплоскости. Сила P приложена к штампу с эксцентриситетом е так, что создается момент еР относительно начала координат О (см. рис. 4.5, а); сила T приложена к штампу таким образом, что не создается момента относительно центра О. Величина е подлежит определению в ходе решения задачи из условия

і

J Ф (S) SdS. (8.13)

—і

Коэффициент трения постоянен, Т. е. P (х) = к = const.

2) Штамп прижимается силой Р, направленной по оси у (см. рис. 4.5, б). Коэффициент трения зависит от х следующим образом:

P (я) = е-1 tg ецх (ег]<л/2), (8-14)

обращаясь в нуль при г = 0 и монотонно возрастая по модулю с ростом Ircl.

Вйедем в рассмотрение функцию Ф(г), заданную интегралом типа Коши (2.28) гл. 2, и применим формулы Сохоцкого (2.26)

Рис. 4.5

гл. 2 к интегральному уравнению (8.12). После несложных преобразований придем к задаче Римана — Гильберта (2.30) гл. 2 на интервале Ы =? 1, ще
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed