Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
OO
. , * я , V (— 1)Й+1Ж2Й-1
Si (х) — 2 sgn X + 2j (2/с — 1) (2к — 1)! ’
(3.43)
d (х)_іпм = с+
Й=1 ' '
равномерно сходящиеся при всех х > 0; С — постоянная Эйлера.
Заметим теперь, что ядро к (t) вида (3.9) можно представить в форме
•О OO
к (t) = т J du — (т — I) J du.
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
199
Тогда с учетом интегралов (3.41), (3.42) пелучим
Л: (?) = m. (— In J ? I -h d%) + (т — I) (sin t si t + cos t сі t). (3.44)
Пользуясь здесь вновь степенными разлежениями для sin а; и cosa:, а также формулами (3.43), будем имгть (сравните с (8.34),
(8.35) гл. 2)
к (t) = In \t IS dut2i + I f I S d2it2i + S d3it2i, (3.45)
i=» i=e i=e
где ряды в (3.45) равномерно сходятся при всех Ul < °° (в по-
О*
следнем случае равномерно сходится ряд S dsit2'). Несколько
i=i
первых значений постоянных djt таковы:
djj = I, d20 = л (ш 1)/2, dso = оо, dL1 = (ш l)/2t
d.21 = я (т— 1)/12, d3l = (т — 1) (3/4 — С/2).
Далее рассмотрим ядро
OO
k(t) = j* —cos utdu. (3.46)
»
Заметим, что —k'(t) совпадает с l(t) вид* (3.37). Преобразуем (3.46) следующим образом:
ое о*
k(t) = J c-osut + g~2“ du + J¦ g~2U (C^at--*L du.
О 0
Вычисляя здесь интегралы с учетом (3.42), будем иметь
fc(i) = -ln|i| + d*-|lni-iA (3.47)
Раскладывая последнее слагаемое в степеяиой ряд, получим
О*
к (f) = — In 111 + S dKtп. (3.48)
г~0
оо
Здесь ряд S dit2i равномерно сходится при Ul < 2. Несколько
г=оо
первых значений постоянных d{ таковы: dt = °о; <3, = —2_3, d2=2-8.
Сравнивая (3.45) с (8.34), (8.35) гл. 2, убедимся, что для задачи, поставленной в п. 1, асимптотическое решение при больших X имеет вид (8.37), (8.38) гл. 2. В частности, для случая вдавливания штампа с плоским основанием j(x)^j решение дается формулами (8.37), (8.39) — (8.42) гл. 2. Связь между вдавливающей штамп силой и его осадкой не может быть определена, ибо входящая в формулу (8.43) гл. 2 постоянная d3S> —
200 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
= оо. При очень больших значениях X, когда в разложении (3.45) можно оставить только члены
к (t) да — In 111 — Y (т — I) 111 + d30,
интегральное уравнение (3.11) простыми преобразованиями приводится к интегро-дифференциалыгому уравнению Прандтля [И] 1
1'=?' ~~ T (т ~ Ф № = № ~ Tk ~ No’
~1
л
ф (я) = Jcp (?)<?, Ф(— 1) = 0, Ф (I) = AT0 (Ы<1).
-і
Исследованию уравнения Прандтля посвящены следующие два параграфа.
Сравнивая (3.48) с (8.2), (8.4) гл. 2, убедимся, что для задачи, поставленной в п. 2, асимптотическое решение при больших X дается формулами (8.20), (8.22) гл. 2. В частности, когда в (3.39) f(x) = f — ^x (плоское крыло, угол атаки ^), согласно формулам (8.20), (8.22) гл. 2 будем иметь
Ф (ж) =
Nn
я Vl
id, + .4
2 >1 _ г2 .
_____VfL-T1 + А + ^.Ь_і) + іі
VT=J [ + я2 я4 г 4 j + ^
+ О
х» Vi-X^r (3.49)
N1 =
Pe
2a2pV2
яу
~
Удовлетворяя теперь условию ф (1) = 0, найдем P
Nn = -
2apV
. 2d 9d M21 ( !
I + + —f + ~ГГ + Ol =
к2 1 я4 ‘ Я4 ‘ “ I Я6
(3.50)
(3-51)
и формуле (3.49) придадим вид
ф(я)
3d 25?
2л4 + T
+ х
+
( 2d, Ш, id2 \ IOd0 4d„ „ г і \
(3.52)
Теоретически асимптотический метод больших X для задачи п. 1 дает решение, применимое при всех ^є(0, оо]; практически формулы (8.37), (8.39) — (8.42) гл. 2 можно здесь использовать при
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
201
Х>Ъ. Для задачи п. 2 теоретическая граница — X > 1; практическая (для формул (3.50) — (3.52)) — X > 2.
4. Заметим, что теоретическое ограничение X > 1 для задачи п. 2 возникает по той причине, что у функции
l(w)= w~l + w (w2 + i)~l
комплексной переменной w = t + гт, определяющей в силу (3.47) прн т = 0 ядро интегрального уравнения 1(3.39)', второе слагаемое имеет полюсы w = ±2і. Разложение второго слагаемого в ряд Лорана в окрестности и; = 0 будет сходиться при Iwl <2 или Ul = I (?-х)Х~1\ < 2, т. е. при Х> 1. Если теперь, следуя идеям, изложенным в последнем пункте § 8 гл. 2, ввести новый параметр |л, связанный с X выражением [12]
= У (X2Ii) + 1 — (Х/2), Л«=(0,оо)=*.ц«=(0,1)', (3.53)
то разложение
/“ + я2 ’ - 2J
а- (у) = У (2/-1-^(-1)^1 гі-гн-і аЛУ) к\ (2/ — 1 — 2к)\ У
ft=o ' '
(3.54)
как можно показать, сходится при jx < 1 равномерно по у s s [—1, 1]. Подставляя теперь в интегральное уравнение (3.39)
i(t) = T
2j
1=1
и разыскивая его решение в виде
OO
Ф(*)= S Vn(X)Ii2n, (3.55)
Ti=O
получим, как в § 8 гл. 2, систему соотношений для последовательного определения функций ц>„(х). Теоретически решение (3.55) будет применимо при всех jj, < 1, т. е. при всех X > 0. Практически диапазон (по jx и X) использования решения (3.55) будет зависеть от количества удерживаемых в (3.55) слагаемых.
Обобщая изложенные здесь результаты, отметим, что для задач типа Ь), в которых
К (и) = м_1[1 + О (и-2)] (и -*¦ оо ),
К(и) =и~1 [В+ Du +О (и2)] (и-+ 0),
символ ядра К (и) можно с любой степенью точности аппрокси-
