Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
1 +
¦ 1
+ о (±
U2 + Iu3
К {и) = U 1 [т — (т — 1) и + (т — I) Ui + О (и3)] (и-+ 0),
(3.12)
причем нетрудно убедиться, что т 5s 1.
2. Пусть в полуплоскости, занимаемой идеальной несжимаемой жидкостью, на глубине h движется тонкое слабоизогнутое крыло с постоянной скоростью V (рис. 4.2). Профиль крыла в неподвижной системе координат (х, у), связанной с жидкостью, описывается уравнением у = g (х 4- Vt); на свободной поверхности жидкости давление постоянно и равно р0.
Будем использовать уравнения (2.17) — (2.19) гл. 1. Тогда потенциал скоростей в полосе (І) и полуплоскости (2) удовлетворяет уравнениям
Лфі = 0 (г = 1,2), (3.13)
причем поле скоростей можно найти по следующим формулам:
Vx =
аФг
Scpi
ду
дх ’ uV
и имеет место интеграл Коши (см. (2.18) гл. 1) + 4 (grad Фі)2 + = Fi(I).
(3.14)
(3.15)
Пренебрегая в (3.15) нелинейным членом и замечая, что в бесконечно удаленных точках полуплоскости Cpi = 0 и р{ = рг, вместо (3.15) будем иметь
Зфг + Pj-P0 _ Q
dt ' р
Далее введем в рассмотрение приращения давлений
Зі = Pi - Po.
Граничное условие на крыле имеет вид
ЭФг dg ду dt
dg
dt
я* ¦*" дх Vx
(У = 0),
(3.16)
(3.17)
(3.18)
или; если пренебречь малым членом в (3.18) ,
дфг dg
196 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Граничное условие на свободной поверхности жидкости в силу
(3.16) запишется в форме
^ = O (У = h). (3.20)
Введем подвижную, связанную с крылом систему коордипат у' = у, х = х + Vt; тогда для крыла у' = 0, \х'\ =? а. В указанной системе координат
yi = q>i{x,,y') = yi{xJrVt,y), (3.21)
поэтому граничные условия (3.19) и (3.20) примут вид (штрихи у а/ и у' далее опускаем)
^=Vg1(X) (У= 0, UKа), (3.22)
^=O (у = h), (3.23)
Разрежем мысленно полуплоскость на глубине у = 0 и поставим граничные условия при Ы >а (условия сопряжения):
= ?Фі=і^ _ _ /Q24^
ду ду ’ дх дх ’ 2‘ ' * '
Последнее равенство следует пз соотношения (3.16), записанного в связанной с крылом системе координат
vfE-+Т~°- ^
Из (3.25), кроме того, для области, занимаемой крылом, имеем
чг~ Itr = Wr^ (»=°.M<e). (3-26)
где г(х) — результирующее давление на крыло, причем
а а
P= j* г (х) dx, Pe = j* xr (х) dx, (3.27)
—а — а
P — подъемная сила, е — эксцентриситет приложения этой силы.
Разыскивая решения уравпенип (3.13) в форме интегралов Фурье
OO
Фі (*> у) = 2S" J' фі У) e~iaxdai (3-28)
— OO
получим для трансформант Фi(ot, у) выражения
Фі (а, У) = Ci (а) sh Ial г/ + C2(a)ch Ialy, Ф2(а, у) = С3(а)е,а|у.
(3.29)
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
197
Замечая теперь, что в силу (3.22) и первого равенства (3.24)
Ir = Iif (^ = °> N<°°)> (3.30)
на основании (3.28), (3.29) получим
Ci (a) = C3 (а). (3.31)
Замечая, что в силу второго равенства (3.24) и (3.26)
-^r--Sr =W pW (у = °,И<°°), (3 32)
r(x) = r(x) (I XI а), г (х) = 0 (|^|>я),
на основании (3.28), (3.29) найдем
га [C2 (а) — C3 (а) ] = — (р 7) ~lR (а), (3.33)
где R(ot) — трансформанта Фурье функции г(х). Удовлетворяя
с помощью (3.28), (3.29) условию (3.23), будем иметь
Cj(a)sh lal/i + C2(a)ch Ialh = 0. (3.34)
Решая систему уравнений (3.31), (3.33), (3.34), найдем Ci(а), C2(а) и C3(а). Удовлетворяя, наконец, граничному условию (3.22), получим соотношение
OO
j" R (a) (I + e_2,a'ft) sgn ae~iaxda = knipV^g' (х) (|а;]^а).
— 00
(3.35)
Принимая в расчет, что
а
R (a)= \r(l)eialdl, (3.36)
— a
и подставляя это выражение в (3.35), придем к следующему интегральному уравнению относительно функции распределения давления по крылу:
а
J г (I) I (^) dl = 2яр Vhgf (X) (I ж |< а),
(3.37)
OO
Ht) = f (I + е~2и) sin ut du. о
В безразмерных переменных и обозначениях
*' = Т> 1' = І’ Х = ^ ф Г {х>) = g’{x) (3-38)
198 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
уравнение (3.37) примет вид (штрихи опускаем)
і
1'
4>(l)l[^]dl = nKr(x) (М<1). (3.39)
Уравнение (3.39) соответствует случаю Ь) с символом ядра К(и) = м_1(1 + е~2и). Здесь, в отличие от (1.7), для символа имеют место следующие асимптотические представления:
К (и)= u~l [1 + 0(е~2и)~\ (и-+ оо),
(3.40)'
К (и)= иг1 [2 — 2и + 2и2 + 0(и3)] (и-+ 0).
Необходимо найти решение интегрального уравнения (3.39) вида (3.24) гл. 2, т. е. решение, удовлетворяющее условию Ф (1) = 0. Это известное условие Жуковского [10], означающее конечность результирующего давления на задней кромке крыла. Указанное условие служит для определения связи между подъемной силой P и углом атаки крыла.'
3. Получим разложения для ядра k(t) вида (3.9) и ядра l(t)’ вида (3.37) при малых t.
Отталкиваясь от значения интеграла
•о
I
cos ut du = — sin (гі) si (гі) — cos (гі) сі (et), (3.41)
U -f- е »
где si (я)’ и сі (х)—интегральные синус и косинус [7], п устремляя є к нулю, найдем, что
00
1
где d* — бесконечная постоянная. Здесь были использованы известные степенные разложения для sin я и cos ж, а также ряды [7]
