Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
где P = Y^a2 — А'а, причем при извлечении корня выбирается такая ветвь, что р = Ial при Ial
Чтобы найти функции C1 (а) и C2(а), необходимо получить аналог условия (5.12) и второго условия (5.10) для функции ТУ (а, у). С этой целью введем в рассмотрение преобразование Фурье функции т (х):
OO
Г (a)= J ^(|)Л|, (5.19)
— 00
которое существует в силу теоремы 1.8, и обратное преобразование от которого сходится к функции т (х) по теореме 1.10 в смысле (4.10).
С учетом первой формулы (5.15) и формулы (5.19) имеем
OO
I GW1y (а, у) - T (а) | < J | Gwv (|, у)- т (|) | d?. (5.20)
— 00
Отсюда на основании (5.12) найдем
Iim [GWy (а, у)-T (a)] = 0. (5.21)
у->л
Удовлетворяя второму условию (5.10), на основании (5.13) получим
ТУ (а, 0) = 0. (5.22)
Подставляя далее (5.18) в (5.21) и (5.22), получим относи-
тельно C1 (а) и C2 (а) систему двух алгебраических уравнений.
З В. М. Александров, Е. В. Коваленко j gjj jgjjИОТЯІК А
34
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Решив пх, найдем
c^I-Tmw- С>И-0. (5-23)
Теперь по формулам (5.14) и (5.18) получим окончательно решение задачи
OO
»(*.!')--ЯГ І-Wk <5-24>
— 00
Итак, решение вспомогательной задачи получено. Необходимо только убедиться в выполнении сделанных ранее предположений относительно функции W (X, у).
Заметим, что в силу теорем 1.13 и 1.14 функция T (а) является целой в комплексной плоскости а и на вещественной оси при Ial-> оо стремится к нулю не слабее, чем |а|-1+й (0<ц,<1). При 1тк\фО подынтегральное выражение в (5.24) в комплексной плоскости а является аналитической и регулярной функцией, когда IIm^/гІ < л/2, и на вещественной оси при Ial -> оо стремится к нулю не слабее, чем lal~2+t*exp[—(h — у) Re [}]. Отсюда следует, что интеграл (5.24) можно любое число р^з дифференцировать по параметрам х є [с, d] и у є [0, h — 8}, и он по-прежнему будет сходиться равномерно. Кроме того, из теоремы 1.15 вытекает, что функция w(х, у), определяемая интегралом (5.24), при любом фиксированном у є [0, Ii — 6] и \х\ -+¦
-*¦ оо исчезает как ехр?— — bj | х | .
Итак, можно заключить, что все ранее сделанные допущения относительно свойств функции w(x, у) выполнены.
Касательные напряжения1) в слое найдем теперь по формулам (2.7) и (5.24). Будем иметь
OO
т_________L Г r(«)«shpy -км.
Тх2 ~ 2п J р ch PA Ш ’
(5.25)
OO
v= * Г г (.Ubte
у 2п J Ch Ph
— OO
Как и выше, при х є [с, d] и у є [0, h — б] интегралы (5.25) можно любое число раз дифференцировать по х и у, и они при этом будут сходиться равномерно. Кроме того, нри фиксированном у є [0, h— б] и Ы оо интегралы (5.25) стремятся к пулю
’) Здесь имеются в виду амплитуды касательных напряжений, т. е.
vXZ (х’ *) = rZXeim’ V (х’ У) = Veil0i-
§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
35
как ехр?— ^jlxI • При у = h интеграл (5.24) сходится по
х равномерно, об интегралах (5.25) этого сказать нельзя. Последнее естественно связано с тем, что по допущению функция T (х) имеет структуру (4.14).
Дальше мы будем часто использовать при изучении тех или иных смешанных задач (вернее, соответствующих им вспомогательных задач) интегральное преобразование Фурье, а также другие интегральные преобразования. Однако применять их будем уже чисто формально, без обоснования, имея в виду, что при желании такое обоснование, аналогичное изложенному выше, всегда может быть проведено.
Подставим теперь в (5.24) выражение Т(а), определяемое формулой (5.19). Вспомнив, что т(ж) = 0 при \х\ > а, и положив в (5.24) у — h, будем иметь
оо а
ю (ж, h) = ^ J J т (|) e,a(S_3C)d|. (5.26)
— oo —a
Изменив порядок интегрирования1) в (5.26), получим
а
w = lb Iт ® к (iTi) (5-27>
OO
fc (f) = I J tAs-eiutdu, s = рл, и = ah. (5.28)
Вернемся к рассмотрению собственно смешанной задачи
(5.5) — (5.7). Заметим, что в процессе построения решения (5.24),
(5.25) вспомогательной задачи уже удовлетворены второе, третье и четвертое граничные условия (5.5) смешанной задачи для уравнения (5.6). Удовлетворяя первому граничному условию
(5.5) с помощью соотношения (5.26), получим следующее интегральное уравнение относительно неизвестной функции 'г(ж), характеризующей закон распределения касательных напряжений в области контакта:
а
Jt (|)fcp=^d| = n<?? (И<а). (5.29)
’) Изменение порядка интегрирования в (5.26) может быть строго обосновано с позиций теории двумерных интегралов Лебега,
3*
36 ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
В частном случае о = 0 (статический вариант задачи)' ядро
(5.28) интегрального уравнения (5.29) принимает простой вид
Tthu J и
os utdu= — In th
nt
(5.30)
и само интегральное уравнение можно переписать в форме
и
— J T (!) In
th
п (1 — х) Ah
dg = nGy (| х I а). (5.31)
При этом связь (5.7) между сдвигающим усилием T и смещением полосы у принимает вид
а
T=Jt(I)^. (5.32)
—а
После решения интегрального уравнения (5.29) (или (5.31)) перемещение и напряжения в слое могут быть найдены с помощью формулы (5.19) и формул (5.24), (5.25).
