Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Постановка и сведение к интегральным уравнениям смешанных задач об антнплоском течении в слое вязкой жидкости и об ударе тела о слой идеальной жидкости
1. Пусть в слое вязкой жидкости толщины 2h совершает колебательное движение вдоль оси z по гармоническому закону с частотой о) бесконечно длинная жесткая полоса ширины 2а и нулевой толщины (лезвие). Полоса расположена параллельно плоскостям слоя и равноудалена от этих плоскостей (рис. 1.3). Плоскости у = ±h будем считать жесткими и предполагать, что жидкость полностью заполняет объем \у\ < h, (х, z)є(-OO1 оо). На гранях у = = ±h и гранях полосы у = ±0, Ixl < а будем ставить условие полного прилипания частиц жидкости к соответствующим поверхностям. В силу этого частицы жидкости, находящиеся в контакте с поверхностями полосы, будут иметь скорость V(t)= У0е~!“‘.
Пусть для числа Рейпольдса выполняется соотношение
Re = ^-«ReKp, (6.1)
Рис. 1.3
§ 6. ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
37
где Reitp — значение этого параметра, при котором ламинарное течение переходит в турбулентное. Тогда для решения задачи
можно использовать, уравнения антиплоского течения (2.14) —
(2.16).
В силу симметрии всей картины течения относительно плоскости zOx можем рассмотреть лишь верхнюю половину слоя жидкости. G учетом этого граничные условия задачи будут иметь вид
v2(x, h, t) = О (Ы < °°), vz(x, 0, t) =—V(t) (Ы^а),
-„(X, о, ?) — |1 Sv* = о (М>«), (6.2)
Vz{±°°, у, t)=0 (0<y^h).
Третье условие (6.2) вытекает из четности функции V2 по у в силу упомянутой выше симметрии. Определив Vz из краевой задачи
(2.15), (6.2), найдем затем касательные напряжения, возникающие в слое вязкой жидкости при движении полосы, по формулам (2.16).
Будем искать функцию V2 (х, у, t) в следующей форме:
V2 (х, у, t) = v(x, у)е~ш. (6.3)'
Тогда формулы (2.15), (6.2) примут вид
Av + ibv = 0, Ъ = MV1, (6.4)
v(x, h)= 0 (Ы<°°), v(x, 0)= — T70 (Ы<а)’, (6.5)’
Vv (х, 0) = 0 (|ж|>а), у(+оо, у) = 0 (0^г/^/г).
Задача (6.4), (6.5), как легко заметить, является собственно смешанной. Для сведения ее к интегральному уравнению рассмотрим несобственно смешанную — вспомогательную задачу с граничными условиями
V(Xfh) = O (|ж|<С°°), P-Vy (х, 0) — % (х) = 0 (I <1 оо),
V (zfc°°, у) = 0 (O^y^h). (6-6)
Здесь, как и в § 5, х(х)=х(х) при Ы < а, х(х) = 0 при \х\ >а (х(х)е~ш = ху2(х, 0, t) при \х\ < а).
Будем искать решение задачи (6.4), (6.6) в виде
OO
V (х, у) = gj- J V (а, у) e~'axda. (6.7)
— OO
Подставив (6.7) в уравнение (6.4), выполнив все дифференциальные операции под знаком интеграла и приравняв затем подынтегральное выражение нулю, получим относительно функции
38
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
V(а, у) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: К (“. У) — (а2 — ib) V (а, У) = 0. (6.8)
Его общее решение имеет вид
F(a, y) = Ci(a) sh(iz/ + C2(a) ch (5z/, (5 = Va2 — ib. (6.9)
Заметим, что третье граничное условие (6.6) при отыскании
решения в форме (6.7) автоматически удовлетворено. Это следует, как уже отмечалось в § 5, из свойств интегралов Фурье. Чтобы удовлетворить первым двум условиям (6.6), представим х(х) в форме интеграла Фурье
OO
т (х) = J T (сс) e~iaxda. (6.10)
— OO
Обратное представление дается формулой (5.19). Подставляя в первые два граничных условия (6.6) функции v(x, у) и х(х) в форме (6.7) и (6.10) и приравнивая после выполнения необходимых операций подынтегральные выражения нулю, получим
V (сс, /г) = 0, [iV'y (сс, 0) — T (сс) = 0. (6.11)
Из (6.11) и (6.9) легко пайдем
C1(CC)=T(CC)(HP)-1, C2(CC)=-C1(CC) thр/г. (6.12)
Теперь па основании формул (6.7), (6.9) и (6.12) окончательное решение вспомогательной задачи можно представить в виде
” (*¦ У) =- SiT; j <МЗ>
— OO
Подставим в (6.13) выражение T(а), определяемое формулой (5.19), и положим у = 0. Тогда после изменения порядка интегрирования получим
а
=I (6-14)
—а
где ядро k(t) имеет вид (5.28)
Вернемся к рассматриваемой собственно смешанной задаче
(6.4), (6.5). Видим, что в процессе решения вспомогательной задачи первое, третье и четвертое граничные условия уже удовлетворены. Удовлетворяя второму граничному условию (6.5) с помощью соотношения (6.14), получим следующее интегральное уравнение относительно неизвестной функции %(х), характеризующей закон изменения по ширине полосы контактных каса-
§ 6. ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
39
тельпых напряжении:
а
J т (?) к (Ці) dl = .U1XF8 (I * |< а). (6.15)
После решения этого интегрального уравнения может быть найдено касательное усилие T(t) = TViaf> которое нужно приложить на каждой единице длины полосы, чтобы обеспечить ее движение в слое вязкой жидкости со скоростью V(t):
-iat
I T (l)dl
V)T0-,
(6.16)
здесь ф — угол сдвига по фазе между V(t) и T(t), который возникает из-за диссипации энергии в массе жидкости. Скорость vz и касательные напряжения в самом слое жидкости могут быть найдены по формулам (6.13), (6.3) и (2.16) с учетом формулы (6.10).
