Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Будем искать функции w (х, у, t) и х(х, t) в следующей
форме:
w = vj*(x, у)е~ш, т(х, f) = т*(х)е~ш. (5-4)!
Тогда формулы (5.1) — (5.3) примут вид (звездочки здесь и далее опускаем)
w(x,h)=y (|г|<д), Wv(XxK) = 0 (|ж|>а), 55
w(x,0) = 0 (I а:| < оо), w(ztoo,y) = 0 (Os^ys^h),
kvW 0, = С‘1 Oiu -I- Icost: (5.6)
а
— myсо2 = T- ( т (I) (5.7)
—а
Функции w(x, у) и х(х) в общем случае даже при є= 0, как
будет показано в гл. 5, являются комплексными из-за диссипа-
ции энергии в слое на бесконечности. Это в свою очередь приводит к тому, ЧТО Tf в общем случае является комплексной величиной и может быть представлена в виде
T = Tfoei*. (5.8)’
§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
31
Здесь ф — угол сдвига по фазе между сдвигающим усилием T(t) и величиной смещения полосы Ч(f). Угол ф также должен быть определен в процессе решения задачи. Для дальнейшего еще заметим, что функции т(х) и w(x, у) в силу (2.7) связаны соотношением
Gwy(x,h) = r(x) (| х I а). (5.9)
В соответствии с общим планом решения смешанных задач, изложенным в § 1, для сведения задачи (5.5)-(5.7) к интегральному уравнению необходимо сначала решить соответствующую вспомогательную задачу. В качестве таковой рассмотрим следующую:
Gwy(x,h) = r(x), т(х) = і(х) (I х I^а), т(ж) = 0 (|ж|>а),
(5.10)
w(x,0) = 0 (Ы<°°), w(±°°, у) = 0 (O^y^h),
где функция w(x, у) удовлетворяет уравнению (5.6).
Граничные условия вспомогательной задачи (5.10), как легео заметить, являются смешанными. Поэтому, прежде чем перейти к решению этой задачи, полезно произвести еще одну классификацию сметанных задач теории упругости.
Пусть поверхность S упругого тела состоит из ряда граней. Если хотя бы на одной из граней граничные условия являются смешанными, то задача называется собственно смешанной. Если же ни на одной из граней эти условия не являются смешанными, отличаясь, однако, между собой на различных гранях, то задача называется несобственно смешанной [23].
Несобственно смешанные задачи в ряде случаев допускают простое и эффективное решение при использовании тех или иных интегральных преобразований, тогда как собственно смешанные-задачи, как правило, приводятся к решению интегральных уравнений.
Задача (5.5), как нетрудно заключить, является собственно смешанной, а вспомогательная задача (5.10) — несобственно смешанной. Поэтому задача (5.10) может быть эффективно решена, как будет показано ниже, с помощью интегрального преобразования Фурье.
Предположим, что при любом фиксированном х (—°°<с 5? <x^d<°°) функции w(x, у), IOx (х, у), w'y(x,y), Wx {х, у) и у(?, і/) непрерывны по у при 0 ^y ^h- 8 (8>0). Кроме того, пусть эти же функции при любом фиксированном у (0^ <y^h — b) принадлежат классу L(—<» оо) По переменной х„ Тогда также w(x, y)^L(~<х>у оо)ПС,(с, d), или w(x, г/)єі(-<»( оо)ПУ(—оо, оо)ПС(с, d), по переменной х при фиксированном-
32
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
У*= [0, h — 8]. Относительно функции х(х) предположим, что она удовлетворяет условиям теоремы 1.13.
Придадим уравнению (5.6) и первому граничному условию
(5.10) более общий вид, именно
OO
J I Лю (6, y) + k\w(l, »)|dg = 0 (0<і/</г-б), (5.11)
— ОО
OO
Iim f I Gwv (I, у)-x (I) |d| = 0. (5.12)
V^h
В силу сделанных предположений относительно функций w(x, у) и х(х) из (5.11) и (5.12) следует, что уравнение (5.6) и первое условие (5.10) будут иметь место при почти всех X S Є (—оо, оо). Второе условие (5.10) будет иметь место при всех ?<=(—Ooi оо), поскольку функция w(х, у) непрерывна по х. Третье условие (5.10) будет выполнено автоматически, ибо из допущения w(x, y)^L( — оо, оо)ПС(С, d) по переменной X следует, что w{x, у) = о(\х\-1) при Ыравномерно по i/s[0, h — 8].
Введем теперь в рассмотрение преобразование Фурье функции W (х, у) по переменной X (в силу теорем 1.8 и 1.12 оно, Очевидно, существует и непрерывно по у):
OO
W (а, у)= J н>(6,y)eialdl (5,13)
— 00
Обратное соотношение имеет вид
OO
w(x,y) = ~ J W (а, у) e~iaxda, (5.14)
— 00
причем интеграл в (5.14) по теореме 1.9 в смысле (4.9) равномерно сходится к функции w(x, у) по ж и у в области с ^ х ^d,
O^y s^h-6. Далее, основываясь на теоремах 1.8, 1.11 и 1.12, можно утверждать, что справедливы равенства
OO OO
J Wy (?, у) exaldl = w'y (а, у), ] w"y (I, у) eialdl = W"y (а, у)г
•-00 — 00 „
(5.15)
J w[ (I, у) eiald% = — OC2W (а, у)
— 00
причем их правые части непрерывны по у.
§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
33
Сложим два последних соотношения (5.15) с соотношением
(5.13), умноженным на к\. Будем иметь
OO
Wy (а, у) — (а2 — к\) W (а, у) = J [ Aw (|, у) + k\w (?, у)] eiald%,
— ОО
(5.16)
OO
I wI (а, у) — (а2 — к\) W (а, у) | < j | Aw (?, у) + klwfa у) | dg.
— 00
Ha основании (5.11) и (5.16) получим для определения трансформанты ТУ (а, у) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
W"-(a2-kl)W = 0. (5.17)
Его общее решение имеет вид
ТУ(а, у) = Cl (a) sh + C2 (a) ch $у, (5.18)
