Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
f{x) = ^F(<z)e~iaxdar (4.15)
г
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в указанной выше полосе плоскости комплексного переменного а.
Как следствие, из теоремы 1.14 вытекает, что преобразование Фурье от функции
f (X) = g (х) (х Є [с, d]), f(x) = 0 (х Ф [с, d]), g(x)^L(c, d),
определяет аналитическую функцию F(а), регулярную на всей комплексной плоскости а. Такие функции называются целыми.
Теорема 1.15. Пусть функция F(а) регулярна в полосе т_ < т < т+, —< о < °° и пусть |F(a) I -*¦ 0 равномерно при Ial оо в полосе т_ + є =? т < т+ — є, где 0 < 2є < т+ — т_. Тогда для функции f(x), определенной интегралом (4.15), где бесконеч-
28
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ная кривая Г лежит в полосе т_<т<т+, — °° < о < °°, а х вещественно, имеет место второе соотношение (4.7). Кроме того, \f(x) I < ехр(т_ + 6)х при X-*- +°° и \f(x) I < ехр(т+ — 6) ж при ж -*¦ —оо, где б — сколь угодно малое положительное число.
Наряду с интегральным преобразованием Фурье далее будет также использоваться интегральное преобразование Мелли-н а [20-22]
OO
Ф (ot) = j У (P) р“_1^р, (4.16)
о
где а = о + it — некоторое комплексное число, принадлежащее полосе O1 < О < O2, —оо < T < оо.
Теорема 1.16. Достаточным условием существования преобразования Меллина (4.16) является сходимость интегралов
I OO
\ Р°1-11 / (P) I dp, j р°2 1I/ (P) I dp. о 1
Если к тому же j{r)^V(а, Ь) при любых О < а, Ь<°°, то име^т место формула обращения
/(,+ 0) + /(,-0). _^.^ф(я)г-«да (0<г<»), (4.17)
Г
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в полосе Oi < о < (T2,
— OO < X < OO ПЛОСКОСТИ а.
Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Фурье (достаточно произвести в (4.7) замену переменного х = = In г). Поэтому многие результаты, относящиеся к преобразованию Меллина, могут быть получены из приведенных результатов для преобразования Фурье.
В гл. 5 будет использоваться тесно связанное с преобразованием Фурье интегральное преобразование Лапласа — Карсона [20, 22]
OO
I (P) P-1 = J e~plf(l) dl, (4.18)
О
где р = т + is некоторое комплексное число, принадлежащее полуплоскости т > То, оо < s < оо. Формула (4.18), очевидно, получается из второй формулы (4.7), если считать, что /(ж)= О при ж<0, и положить ia = —p, F(а) = / (р)р~1.
Теорема 1.17. Достаточным условием существования преобразования Лапласа — Карсона (4.18) является сходимость
§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
29
интеграла
OO
JrVe I/<?)|dg.
О
Если к тому же /(ж)е V(а, Ь) при любых 0 < а, Ъ < то имеет место формула обращения
Ц»±.И+/<«-01_ (0<х<«), (4.19)
L
где L — любая бесконечная кривая, простирающаяся вдоль всей МВИМОЙ ОСИ В полуплоскости T > То, —оо < S < оо.
§ 5. Постановка динамической смешанной задачи об антиплоской деформации упругого слоя и сведение ее к интегральному уравнению
Пусть к поверхности y = h упругого слоя (рис. 1.2) жестко присоединена бесконечно длинная недеформируемая полоса ширины 2а, ось полосы параллельна оси z. Нижняя грань у = О упругого слоя жестко закреплена.
Приложим на каждой единице длины полосы касательное сдвигающее усилие1) интенсивности T(t) = Te~m‘, параллельное оси z. Здесь t—время, о — частота. Под действием этого усилия полоса начнет смещаться вдоль оси z на величину Tf (0 = Че~ш, вызывая тем самым антиплоскую деформацию слоя. Вне полосы будем считать поверхность у = h слоя ненагру-зкенной. Чтобы получить единственное, физически корректное решение краевой задачи об установившихся гармонических колебаниях слоя, введем в правую часть дифференциального уравнения (2.6), описывающего антиплоскую деформацию (деформацию чистого сдвига), малый диссипативный член гю. В окончательном решении задачи мы будем устремлять є к нулю. Такая процедура в силу принципа предельного поглощения [1] автоматически обеспечит выполнимость при I ж I —OO условий излучения Зоммер-
*') На самом деле мы предполагаем, что T(t) = T cos 6)1 = T Re е~ы1. Поэтому от окончательного решения нужно будет взять лишь реальную часть, так как разрешающие уравнения задачи имеют действительные коэффициенты.
зо
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
фельда, физический смысл которых состоит в отсутствии волн, приходящих к источнику колебаний из бесконечности (подробнее об этом см. §i 1 гл. 5).
При сделанных предположениях граничные условия задачи будут иметь вид
w (х, h, t) = уе~м (la-К a), w'y(x,h,t) = 0 (|^|>а),: w(x,0,t) = 0 (|ж|<оо), w (± оо, у, t) = 0 (0 ^y ^h),
где функция w (х, у, t) удовлетворяет уравнению
Лш = c^2w + є ii?. (5.2)
К соотношениям (5.1) и (5.2) нужно еще добавить уравнение движения недеформируемой полосы
а
my(t) = T(t)- J т (I, t)dlf (5.3)
—а
где т — масса единицы ее длины, т(я, t)—касательные напряжения между полосой и слоем в области нх контакта (Ы^а, у = h, Izl < оо).
В ходе решения задачи требуется найти контактные каса-\ тельные напряжения т(Z1 t), связь между сдвигающим усилием T(I) и смещением полосы Tf(O) резонансные частоты ий, а также поля напряжений и перемещений в слое.
