Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Комплексное число Я называется регулярной точкой или регулярным числом оператора А,, если
а) уравнение (3.24) однозначно разрешимо, т. е. существует ограниченный обратный (резольвентный) оператор (А —ЯІ)-1 (I — единичный оператор);
б) имеет место- условие корректной разрешимости, т. е. непрерывной зависимости решения от правой части
ll/ll ^M(X) Ilgll. (3.25)
Теорема 1.4 (Фредгольм). Пусть А — вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
22
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
1) уравнение (3.24) имеет не более счетного множества собственных значений конечной кратности, причем IAj ї5 IA2I S5 • •.
... S* IAj Її ... и IimAn = 0 (п -*¦ °°), IAj =S ПАИ;
2) каждому собственному значению соответствует конечно© число линейно независимых собственных элементов; _
3) если А—собственное значение оператора А, то А — собственное значение сопряженного оператора А*;
4) если А — собственное значение, то уравнение (3.24) разрешимо тогда и только тогда, когда элемент g ортогонален всем собственным элементам оператора А*, соответствующим собственному числу А.
Если оператор А к тому же самосопряженный, то
5) спектр оператора А расположен на отрезке [—ПАИ, НАН] действительной ОСИ, причем IAiI=HAII; собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Теорема 1.5 (Гильберт — Шмидт). Для любого вполне непрерывного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве H существует ортонормированная система {/„} собственных функций, отвечающих собственным значениям {А„} (An=TtO), такая, что всякий элемент /є H записывается единственным образом в виде
1 = liiaili +1*, (3.26)
І
где /* — линейная комбинация решений уравнения А/ = 0; при этом
А/ = 2 ^iaifi• (3.27)
і
Если уравнение А/ = 0 имеет единственное решение / = 0, то
совокупность собственных элементов оператора А образует базис
в гильбертовом пространстве Н.
§ 4. Некоторые сведения из теории интегрального преобразования Фурье
Здесь будут приведены без доказательств некоторые свойства интегрального преобразования Фурье, которые нам понадобятся ниже при постановке исследуемых в книге смешанных задач. Применение преобразования Фурье или других интегральных преобразований к решению уравнений в частных производных, при помощи которых описываются физико-механические свойства сплошных сред, позволяет понижать порядок этих уравнений. Подробные сведения по теории преобразования Фурье читатель может найти, например, в монографиях [14—19].
§ 4. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
23
Система элементов {/„} (п = I, 2, ..., N) гильбертова пространства H называется ортонормированпой, когда
(In: fm)ll = ^nm ITl = 1, 2, . . .,
где Snm — символ Кронекера. Далее будем предполагать, что система {/„} состоит из счетного множества элементов, т. е. N = °°.
Если {/„} — ортонормированная в H система и / — произвольный элемент из Н, то числа
®n = (Л fn)H
называются коэффициентами Фурье элемента / в системе {/Л, а ряд
OO
/-SeJn (4.1)
71=1
называется рядом Фурье элемента / в системе {/„}.
Ортонормированная система {/„} называется замкнутой (полной), если для любого элемента / єН имеет место формула замкнутости (равенство Парсеваля)
/& (!/Ilr2 =1/IIh). (4.2)
Формула (4.2) означает, что частные суммы ряда Фурье (4.1) элемента / сходятся к нему по норме Н, и, следовательно, в (4.1) можно поставить знак равенства. Поскольку к тому же для каждого JeH коэффициенты ап определяются однозначно, то система {./„} при условии (4.2) является базисом гильбертова пространства Н.
Известно [10, 11], что в пространстве L2(—a, а) ортонормирования ,система функций
Г I 1 ппх 1 ягах) /I1^ , п ,
т=г,-T=-Sm-------,-7^-cos------V (ж п = 1,2,...)
\У2а У a aYa « J 4 1^’ ’ ’ >
составляет базис. Поэтому всякая функция f(x)<^Lz(—a, а) представима сходящимся к ней по норме L2 тригонометрическим рядом Фурье
ОС
j/ * aO , X1 / , , . ппх \ ,,
f(x) = Y+ 2d (^a'1 cos— + bn sm — j, (4.3)
a,1 = T ) /(^)cos^Tld* (и = 0,1,
(4.4)
24 гл, 1, ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
причем имеет место равенство Парсеваля
I/IlL = а
п=1
(4.5>
Переход от f(x) к системе коэффициентов {ап, Ь„) вида (4.4) называется преобразованием Фурье (в конечных пределах) функции f(x). Формула (4.3) представляет собой обратное преобразование.
Подставляя (4.4) в (4.3) и устремляя формально параметр а к бесконечности, получим известное представление интеграла Фурье
OO OO
/ (Ж) = 2k I da J f ® C0S а&~х)
— ОС -OO
которое можно также записать в комплексной форме
OO OO
/ ix) = 2^" J da J f(l)eiail~X)dl.
(4.6)
-OO -OO
Обобщение формул (4,3) — (4.5) на случай интеграла Фурьй
(4.6) приводит к следующим результатам.
Теорема 1.6 (Планшерель). Пусть /(ж)є^2(—°°). Тогда существует функция F(a)eL2(-°°) такая, что
<х> а 2
Iim J / (х) — j F (a) е iaxda
dx = 0.
Кроме того, имеет место обратное соотношение
а-» со _
