Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 14

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 105 >> Следующая


В частном случае м = 0 (стационарное течение) ядро (5.28) интегрального уравнения (6.15) принимает вид (5.30), а само интегральное уравнение можно представить в форме

а

- J T (g) In I th 1 ^ = (И<А). (6.17)

Касательное усилие T становится не зависящим от времени и определяется формулой (6.16) при ш = 0 и ф = 0.

. 2. Рассмотрим теперь плоскую задачу об ударе- абсолютно твердой пластинки ширины 2а о поверхность идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины (рис. 1.4). Допустим, что до удара давление в жидкости равнялось атмосферному давлению ро, жидкость была неподвижной и занимала слой между плоскостями у = 0 (жесткое дно) и у = h (свободная поверхность), плоскость пластинки в момент удара совпадала со свободной поверхностью. Исследуем случай центрального удара, т. е. будем считать, что скорости всех точек пластинки равны V. Допустим также, что после удара течение жидкости потенциально.

Для решения задачи используем формулы (2.18) и (2.19) при P = Const. При этом, пренебрегая еще в (2.18) вторым

V У ч
( -4Г а )
( -? 0

Рис. 1.4
40

ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

слагаемым в левой части, будем иметь

+ = 0, Acp = 0; (6,18)

здесь учтено, что F(t) = p0p~l, ибо ср = 0 и р = ро при t = 0. Введем в рассмотрение импульсивное давление [24]

t t р* = Iim \ (р — р0) dt = Iim \ р dt. (6.19)

f-*0 Q І-* О Q

Тогда первое соотношение (6.18) примет форму

Р* = — РФ) (6-20)

а второе не изменится, однако функцию ф теперь нужно считать не зависящей от времени.

Граничные условия задачи при сделанных предположениях будут, очевидно, иметь вид

%М = ??|d). = 0 (|ж|<оо),

Vy(x,h) = ^V=-V (|ж|<а), (6'21)

р* (х, К) = — РФ (ж, h) = 0 (I ж I > а),

Pitl исчезает при I ж I -*¦ Требуется определить закон измене-

ния импульсивного давления p%(x,h) = т (ж) при |ж| < а (в области контакта пластинки с поверхностью слоя жидкости).

G целью сведения поставленной задачи к соответствующему интегральному уравнению рассмотрим вспомогательную краевую задачу для уравнения Лапласа (6.18) с граничными условиями

ф(ж, h) = — р~Ч(ж) (I ж I < 00), дфау’0) =0 (М<°°)> ф(±°°. у) = 0 (0<г/<7г), ^ ^

причем т(ж)=т(ж) (|ж1<а)', т(ж)=0 (1ж1>а).

Будем искать решение (6.18), (6.22) в форме интеграла Фурье

Ф

(х,У) = 2^- j Ф («, У) е %axda, (6.23)

удовлетворяя тем самым сразу последнему граничному условию

(6.22). В результате подстановки (6.23) в уравнение для ф

(6.18) придем к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно трансформанты Ф(а, у), общее решение которого имеет вид

Ф(а, у)= C1 (a) sh ay + C2(а) сЬаг/. (6-24)
§ 6, ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

41

G помощью (6.24), удовлетворяя первым двум краевым условиям (6.22), найдем

C1(C)-O, C2 (a) = 1 <6-25>

где т (х) и T (а) связаны между собой при помощи формул

(5.19) и (6.10). Подставляя теперь выражения (6.25) в соотношения (6.23) и (6.24), получим

Ф

<*¦»>--------25Г J' т W IS <6-26>

Нетрудно заметить, что соотношение (6.26) удовлетворяет всем краевым условиям (6.21) основной задачи, кроме второго. Подставим в (6.26) выражение T(а) вида (5.19) и продифференцируем по у. Полагая затем у = h и приравнивая полученное выражение —F при Ы < а, придем к следующему интегральному уравнению относительно неизвестного под пластинкой импульсивного давления т(х):

а оо

J т (?) dl J a th afccos а(? — х) da = — JtpF (UKa)- (6.27)

—а о

Интегрируя обе части (6.27) по і и учитывая четность поставленной задачи, придадим уравнению (6.27) следующий вид:

а

— cosa(?- x)da= яру(^ + Cl (UKa) (6.28)

или, принимая во внимание значение интеграла (5.30), перепишем (6.28) в форме

а

- J т (S) In I th Si I dl = JipF (у + с) (U|<e). (6.29)

—а

Для замыкания постановки задачи к интегральному уравнению (6.29) следует добавить соотношения

а

T=J r(x)dx, т(+а) = 0. (6.30)

—а

Первое из условий (6.30) есть выражение для определения полного ударного импульса Т, действующего на пластинку, и служит для установления связи между T и F. Второе условие (6.30) означает ограниченность импульсивного давления т(х) на краях площадки контакта и служит для определения неизвестной постоянной С, входящей в правую часть уравнения (6.29І.
42

ГЛ. 1, ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

-X

§ 7. Основные типы одномерных интегральных уравнений смешанных задач

Как показано в §§ 5, 6, совершенно различные по своей фпзп-ко-мехапической основе смешанные задачи свелись к изучению похожих по структуре интегральных уравнений (5.29), (6.15) и (6.29). Эти уравнения в безразмерных величинах можно записать в едином виде

X

J ф (?) * (Ц~) = nf (*) (IajK1)* (7Л)

ео

fcW = T I tJr-eiutdU. (7.2)

“ОО

Здесь введены следующие обозначения и переменные:

6'= 4* Х' = Т’ Я = Т’ ?(6') = 1?21, f(x') = e-^l. (7.3)

Штрихи у I' и х' в формуле (7.1) и далее опускаем. Для задачи, поставленной в § 5, в формулах (7.1)-(7.3) нужно принять

S = Yu2 — >4 и2 = М, ** = G, g (х) = у; (7.4)
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed