Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Il приближение Плачека 0 —0,09 —0,08 —0,05 0 0,02 0,03 0,04
А(0. И) pIli + 0'710446
0,133096
/.(0, V)= P + (0,2664 + 0,375ц) ji In [ 1 +
1 + 3,68962ц -0,45392 + 0,375ц +
1
Jl
Метод Унзольда. Для определения постоянных a, L и с, входящих в пробную функцию источника (5.3), Ун-зольд воспользовался свойством оператора Л перевода функции источника в самое себя. Необходимая система трех уравнений определялась для трех значений оптической глубины т. Для Ti = O, Т2 = 0,3 и тз=1,0 имеем: а = 0,688, Z- = O1117 и с = 4,24.
Таким образом, функцию источников (5.3) можно записать в внде
B1 (т) = — P (т + 0,688 — 0,117*?-4-24*),
4
и тогда
е2 (т) = — P [т + 0,688 — 0,344?2 (т) + 0,5?3 (т)]. (5.6)
4
Как видно из табл. 3, первое и второе приближения Унзольда имеют вполне удовлетворительную точность.
8*
115
Метод последовательных приближений. В отличие от предыдущих метод последовательных приближений имеет вполне определенный физический смысл. Величину искомой интенсивности излучения можно представить в виде ряда по степеням вероятности выживания кванта К:
1 (т. И) = 2 /(n,(T' Iа)- (5-7)
л*=0
Такое представление означает, что мы вводим в рассмотрение величины л-кратно рассеянного излучения: /(0> (т, ц)— интенсивность излучения, распространяющегося в среде без учета процессов рассеяния; /(1) (т. Ц)—интенсивность однажды рассеянного излучения; /(2> (т, ц) — интенсивность излучения, испытавшего два акта рассеяния, и т. д. С математической точки зрения представление интенсивности излучения в виде (5.7) требует дополнительных исследований
о скорости его сходимости. Сходимость существенно зависит как от величины вероятности выживания кванта, так и от оптической толщины рассматриваемого слоя. В атмосферной оптике, например, хорошая сходимость последовательных приближений обеспечивается малыми значениями оптической толщины чистой атмосферы, изменяющейся в пределах от 0,1 до 0,7 [41].
Подставляя ряд (5.7) в уравнение переноса излучения
M Cr-M-) ¦ і / \
H------—П— -, I (т, (і) =
dx
і
= W P ^ ^')У (т, Ю <*М' + (1-Х) E1 (T) (5.8)
-і
(здесь E1(T)—функция источников, определяемая излуча-тельной способностью элементарного объема среды вследствие наличия внутренних источников) и приравнивая члены с одинаковыми степенями К, находим систему дифференциальных уравнений для последовательного определения /<л>(т, н):
d/< } (т> И) + /(0) (т> = (Т)(
dx
d/(1>(x, |і) ja .
И------+ /<*> (т, |і) =
dx
116
I
=т Jp /l0) ~Єі
-I
I
* dl^dT Ц) + /<2> (T’ ^ = T J p (fl’ /(1) (T’ ^ Ф'’
(5.9)
I
H ^ + /(n) <T> и) = у j P(v> РУіп-1) (r, Iі')Ф'.
Граничными условиями для системы (5.9) являются:
/(0) (0, Ji) !ц>о = /0, /(0 (0, и-) |ц>о = О, /<»> (т0, ц) Inco= О,
(5.10)
л = 0, 1,2.........
і = 1, 2, 3, ... ,
где /0 — интенсивность излучения, падающего извне на границу х=0 (т = 0).
В случае B1 (т) = 0 соотношения для интенсивности однократно рассеянного излучения были получены Фесенковым еще в 1916 г.:
р(1) (Ц, JIq) = /(1—^Д<-° = lp^' ^ (1 — Є ,д,д* \ о 4 (JI0+I JI I) ^
at1) (Li, Ji) = /(1) ^0* ^ = kp^' (в""5* —е~ "iM.
° /л 4 (^0-J1)
(5.12)
Подробные исследования Кузнецова н Овчинского [41] об использовании метода последовательных приближений для решения задач атмосферной оптики показали, что для видимой области спектра (х = 0,2-=-0,4,
117
1) учет однократного рассеяния обеспечивает точность в 30%, а двукратного — в 15%- Поэтому для этих специфических условий учет двукратного рассеяния вполне достаточен при интерпретации экспериментальных данных. Аналитические выражения характеристик светового поля во втором приближении с учетом состояния поляризации получены и проанализированы в [42].
§ 2. Вариационные методы
Для решения задач теории переноса одновременно с итерационными широко использовались вариационные методы. Очень часто они применялись одновременно, как это видно на примере метода Плачека. Эти методы замечательны тем, что с их помощью можно получить какую угодно точность. Основы применения вариационных методов к решению задач теории переноса излучения изложены в работах Дэвисона, Маршака, Курганова, Владимирова [43] и других. В одних работах (Дэвисон, Курганов) используется второй интегральный оператор Милна с условием постоянства потока, в других (Маршак, JIe-Кейн) — первый интегральный оператор Милна, в третьих (Владимиров) — непосредственно интегральный оператор в правой части уравнения переноса излучения. Ho сущность этих методов одна. Из некоторых физических или математических предпосылок строится некоторая функция F(x)y близкая к искомой f(x) и содержащая некоторые произвольные постоянные A0, Al, ..., An. Далее по определенным правилам строится некоторый функционал:
X.
а = о (A0, A1....An) =JlFlFW, f{x)]dx (5.13)
о
(1F — обычно квадратичная функция относительно f(x) и F (х)) и из условия его минимума определяются произвольные постоянные An:
a° 0,-^-0............І»=0. (5.14)
