Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
109
ния Нетрудно установить, если известны характеристики среды (т0 и /?) и условия на граничных поверхностях
(вернее, отношение -—-):
а для плотности излучения в среде —
^max —
^ 1 + Лт0 In
А
A2
(4.69)
(4.70)
При E1 = E2 максимум плотности излучения всегда приходится на середину слоя. Нетрудно видеть, что максимум плотности излучения в среде будет появляться всегда, когда
-KkT0 In А- < 1.
(4.71)
Так как функция источников в нашем случае равна е (т) = ~ U1 (т) + I2 (т)] + (1 — X) Ivp,
то, согласно (3.7), решение (4.62) можно использовать для определения углового распределения интенсивности излучения. Для угловой зависимости степени черноты находим:
е = є(0, |і) = 1-РЯ(1 — R) X т,
I —exp
X
62(1 — X) + Ац
¦ A1 +
ехр (— /гт0) — ехр
+ ¦
— в*(1 —A,) -?-1*
A2. (4.72)
Для полубесконечного слоя выражение значительно упрощается;
1 + 2ц
е» = е„(ц)
6 + 2ц
(4.73)
HO
f 1.0 0.6 0.2 О 0.2 0.6 Wi f 1.0 0.6 0.2 О 0.2 0.6 1.0 f
Рис. 11. Индикатриса свечения слоя при различных значеннях к н 0:
____расчет по формуле (4.72);-— данные [63, 87]; /—Х-0; 2—0.1; J-0,4;
4-0,8; 5-0,9
Рис. 11 показывает довольно хорошее совпадение выражения (4.73) с точным решением уравнения переноса излучения для полубесконечной среды (3.45). На этом же рисунке показано влияние параметра р (степени вы-тянутости индикатрисы рассеяния) на угловое распределение интенсивности свечения светорассеивающего полу-бесконечного слоя.
Справедливость полученного решения (4.62) — (4.64) для малых оптических толщин подтверждается анализом решения в приближении однократного рассеяния.
Расчет поставленной задачи методом сферических гармоник в Pi-м и Рз-м приближениях дает менее удовлетворительные результаты, чем данные, рассчитываемые по формуле (4.72). Правда, погрешность метода уменьшается с ростом вероятности выживания кванта (для то-»-оо Р3-е приближение дает погрешность порядка 2%).
Г л а в а (5
ИТЕРАЦИОННЫЕ, ВАРИАЦИОННЫЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Итерационные методы
Основная идея итерационных методов заключается в подборе некоторых пробных функций и их подстановке в интегральные операторы Милна (или в интегральный член уравнения переноса излучения). Полученное при этом решение (первая итерация) подставляется опять в интегральный оператор и т. д. При достаточно большом количестве шагов итераций решение уравнения переноса излучения приближается к точному решению (теорема Хопфа). К сожалению, аналитически получить третью и более высокого порядка итерацию чрезвычайно трудно. Ho тем не менее уже первая итерация при удачном выборе пробной функции может привести к удовлетворительному результату. Многообразие итерационных методов объясняется различным выбором пробных функций и количеством взятых итераций. Рассмотрим основные из них.
Метод Унзольда—Майе.' В качестве пробной функции источников выберем решение проблемы Милна (X= 1, то->оо) в приближении Эддингтона (4.14):
Математически идея итерационных методов сводится к отысканию функции еп (т), если известна функция еп_1 (т):
Подставляя сюда E1 (т) и пользуясь свойствами первого интегрального оператора Милна (стр. 61), находим
л
H
Єп (Т) = A {e„_! (х-')}.
(5.1)
E1(T) = РА{Т'} + -1 ЯА{1} = і- P { т +
+ уВД + М !-!*¦«]}. (5-2)
112
Точность приближения Унзольда — Майе (5.?) JB зависимости от оптической толщины указана в табл. 3. '
Метод Плачет. Пробная функция выбирается в уїд»
Bi(X) = -f P (T-f a -Ler*), (5.3)
4
где значение а взято Плачеком довольно точное, получаемое из вариационных методов (см. § 2 данной главы): а = = 0,71044609. Постоянные Lhc можно определить из условий, что E1 (т) и е2 (т) совпадают с точным решением на граничной поверхности т=0:
Мо) = ±fp.
^1(O) = Ac(B1M)= р.
где A0 = A It=O-
Отсюда находим: L = O, 133096, с = 3,68962. Тогда пробная функция источника (а фактически первое приближение Плачека) имеет вид
E1 (т) = -Р(т + 0,710446 — 0,1330966-3-68^). (5.4) 4
Второе приближение Плачека состоит в переопределении постоянных Lnc при действии на функцию (5.3) не оператора A0, a A: L = O, 113536, с = 2,62032. Тогда
E2 (т) = — P [т + 0,710446 — 0,355223?г (т) + 0,5Е, (т)].
4 (5-5)
Второе приближение Плачека (5.5) (лучше все-таки назвать второй метод Плачека) по точности значительно превосходит, как показывает табл. 3, приближение Унзольда—Майе.
Следует отметить, что угловое распределение выходящего излучения (или, как принято в астрофизических исследованиях, закон потемнения к краю) при использовании метода Плачека также достаточно близко к
8. К. С. Лдзерихо
113
Погрешность итерационных методов при определении функции источников, %
114
точному решению уравнения переноса излучения (табл. 4):
Таблица 4
Точность расчета углового распределения выходящего излучения по методу Плачека, %
и Мет од — 0 0,1 0.2 0.3 0,5 0,6 0.8 1,0
I приближение Плачека 0 —0,96 —0,42 —0,11 0,14 0,18 0,20 0,19
