Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
где к =------------вероятность выживания кванта.
х-|- CT
Граничным условием для (4.41) {шляется
(4.41)
I (0, ц)ц >о — 0.
(4.42)
+ ЗЛСт) + 2--](- = 0,
dx dx
(4.43)
. dA^Jx) + (. + 1} d_A^{т) + (2. + 1} (1 _ябо()/4; (т) в 0 dx ат
101
Интересно сразу же отметить случай К = 1 (чистое рассеяние). Первое уравнение системы (4.43) тогда переходит в dA (х)
—= 0, т. е. A1 (т) = const. Это известный результат: dx
A1 (т) по (4.40) есть поток излучения, а он постоянен для чисто рассеивающей среды.
Система уравнений (4.43) является бесконечной. На практике обычно ограничиваются некоторым n-м приближением. Для этого полагают условие
dA
IttiWe о,
т. е.
dAn+1 (х)
+і' dx
= I
(4л)
dx
dl (т, и) dx
PnuGOdQ = о.
(4.44)
При этом система (4.43) представляет собой систему (п -f 1) уравнения для (м -f 1) функции:
Л0(т), A1(X), ..., Ап(х).
Полагая
Л CO = gie-VT (І = о, 1, 2...................и),
(4.45)
приходим к алгебраической системе уравнений ,для неизвестных постоянных gt-.
—V[(t + lJg'j+i + + (2t + I) (I М)0{) gt =0. (4.46)
Условие разрешимости этой системы — равенство нулю ее определителя—дает характеристическое уравнение вида
102
1-Х —V 0 0 . . . 0 0
—V 3 —2v 0 . . . 0 0
0 —2v 5 —3v . • V 0 0
0 0 0 0 . . .2м—I —tlv
0 0 0 9 . V» . . —MV 2м+1
=0 (4.47)
9-
При Хфі уравнение (4.47) определяет (п + 1) корней:
vO. vL V2, , va....vn. Подставляя эти корни в систему
(4.46), находим постоянные gt = gt (va) и общее решение для весовых функций An (х): ------- *
^W = 2cA(va)rv^ (a = 0, 1,2................»). (4.48)
a
В случае Я = 1 уравнение (4.47) имеет двойной нулевой корень. По общей теории линейных дифференциальных уравнений вклад этих корней в решение (4.48) для A0 (х) равен C1 + C2T, для Ai (т) -C2/3, а для An (т) (п > 2) он отсутствует (C1 и C2 — некоторые произвольные постоянные).
Интересно заметить, что при п -> оо для определения корней характеристического уравнения "(4.47) можно пользоваться соотношением
1 ,
V = -------- In
2 п
1 + п
1 — п
(4.49)
Для определения произвольных постоянных Ca (а = 0, 1, 2, ...), входящих в An (т) и, следовательно, в решение уравнения переноса излучения (4.35), необходимо воспользоваться, казалось бы, граничным условием (4.42). Однако непосредственное его использование приводит к неопределенности нахождения постоянных Ca:
Pq (м-) 2 ^aSo (vcc) + SP1 (ц.) 2 Ca8I (Va) + . . . +
a a
(4.50)
+ (2п+ 1 )Рп (ц) 2 Cagn (Va) - 0,
a
•9
так как ц — непрерывная величина и получается фактически бесконечное число условий. Следовательно, необходимо каким-нибудь образом задать определенный набор (п + 1) значений Hj(/ = 0, 1,2,..., n). В настоящее время или непосредственно задают значения \ij по некоторому закону, или определяют такие функции (|л), которые были бы ортогональны величине /(0, |л) на интервале (0<ц-< 1):
і
[/(0, ц) (ц) ф, = 0 (/ = 0, 1, 2,..., п). (4.51)
103
В первом случае набор значений Jjlj можно найти из условия
PnM = V-
Использование этих значений для (4.50) приводит к так называемым граничным условиям Марка.
Полным набором ортогональных функций в интервале (0, 1) являются полиномы Лежандра P2J-I(Ia)- Так как для P2i_i (ji) наивысшая степень Ji равна 2 і — 1, то в качестве
(ji) можно выбрать jiai_1:
J/(0, ц)ца'"Чі = 0 (і= I, 2........п+ I). (4.52)
о
Условия (4.52) носят название граничных условий Маршака. Непосредственные расчеты показывают, что в приближениях низкого порядка (до P5-го приближения) граничные условия Маршака приводят к более точным результатам. Это связано, вероятно, с тем, что, например, при м=1 условие (4.52) имеет простой физический смысл — задание потока излучения на граничной поверхности т = 0.
Следует отметить, что на практике обычно пользуются нечетными приближениями метода сферических гармоник. Это можно объяснить следующим образом. При Я>1 (этот случай реализуется в ядерной физике и означает факт рождения частиц при взаимодействии корпускулярного излучения с веществом) решение уравнения переноса излучения методом сферических гармоник носит осциллирующий характер. Однако, начиная с Я^2,25, осцилляции решений в четных приближениях исчезают, что говорит о некотором несоответствии решений в этих приближениях действительным процессам распространения излучения в среде.
Для примера рассмотрим Ppe приближение метода сферических гармоник. Интенсивность излучения в P 1-м приближении равна
1
Для определения весовых функций A0 (т) и A1 (т) (а фактически усредненной интенсивности и потока излучения) имеем (по 4.43) систему дифференциальных уравнений:
(T) Х)[А0 (T) = 0, ¦ dA° Ф- H- 3A1 (т) = 0.
di ' di
Полученная система уравнений эквивалентна обычному уравнению диффузии:
(РА0(т)
dr®
= 3(1-*М0(т). (4.53)
Марчуком показано [39], что Рп-е приближение метода сферических гармоник является своеобразным обобщением известного диффузионного приближения.
Обозначая __________
