Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Адзерихо К.С. -> "Лекции по теории переноса лучистой энергии" -> 24

Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.

Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса лучистой энергии — БГУ, 1975. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriiperenosaluchistoyenergii1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 44 >> Следующая


где к =------------вероятность выживания кванта.

х-|- CT

Граничным условием для (4.41) {шляется

(4.41)

I (0, ц)ц >о — 0.

(4.42)

+ ЗЛСт) + 2--](- = 0,

dx dx

(4.43)

. dA^Jx) + (. + 1} d_A^{т) + (2. + 1} (1 _ябо()/4; (т) в 0 dx ат

101
Интересно сразу же отметить случай К = 1 (чистое рассеяние). Первое уравнение системы (4.43) тогда переходит в dA (х)

—= 0, т. е. A1 (т) = const. Это известный результат: dx

A1 (т) по (4.40) есть поток излучения, а он постоянен для чисто рассеивающей среды.

Система уравнений (4.43) является бесконечной. На практике обычно ограничиваются некоторым n-м приближением. Для этого полагают условие

dA

IttiWe о,

т. е.

dAn+1 (х)

+і' dx

= I

(4л)

dx

dl (т, и) dx

PnuGOdQ = о.

(4.44)

При этом система (4.43) представляет собой систему (п -f 1) уравнения для (м -f 1) функции:

Л0(т), A1(X), ..., Ап(х).

Полагая

Л CO = gie-VT (І = о, 1, 2...................и),

(4.45)

приходим к алгебраической системе уравнений ,для неизвестных постоянных gt-.

—V[(t + lJg'j+i + + (2t + I) (I М)0{) gt =0. (4.46)

Условие разрешимости этой системы — равенство нулю ее определителя—дает характеристическое уравнение вида

102

1-Х —V 0 0 . . . 0 0
—V 3 —2v 0 . . . 0 0
0 —2v 5 —3v . • V 0 0
0 0 0 0 . . .2м—I —tlv
0 0 0 9 . V» . . —MV 2м+1

=0 (4.47)

9-
При Хфі уравнение (4.47) определяет (п + 1) корней:

vO. vL V2, , va....vn. Подставляя эти корни в систему

(4.46), находим постоянные gt = gt (va) и общее решение для весовых функций An (х): ------- *

^W = 2cA(va)rv^ (a = 0, 1,2................»). (4.48)

a

В случае Я = 1 уравнение (4.47) имеет двойной нулевой корень. По общей теории линейных дифференциальных уравнений вклад этих корней в решение (4.48) для A0 (х) равен C1 + C2T, для Ai (т) -C2/3, а для An (т) (п > 2) он отсутствует (C1 и C2 — некоторые произвольные постоянные).

Интересно заметить, что при п -> оо для определения корней характеристического уравнения "(4.47) можно пользоваться соотношением

1 ,

V = -------- In

2 п

1 + п

1 — п

(4.49)

Для определения произвольных постоянных Ca (а = 0, 1, 2, ...), входящих в An (т) и, следовательно, в решение уравнения переноса излучения (4.35), необходимо воспользоваться, казалось бы, граничным условием (4.42). Однако непосредственное его использование приводит к неопределенности нахождения постоянных Ca:

Pq (м-) 2 ^aSo (vcc) + SP1 (ц.) 2 Ca8I (Va) + . . . +

a a

(4.50)

+ (2п+ 1 )Рп (ц) 2 Cagn (Va) - 0,

a

•9

так как ц — непрерывная величина и получается фактически бесконечное число условий. Следовательно, необходимо каким-нибудь образом задать определенный набор (п + 1) значений Hj(/ = 0, 1,2,..., n). В настоящее время или непосредственно задают значения \ij по некоторому закону, или определяют такие функции (|л), которые были бы ортогональны величине /(0, |л) на интервале (0<ц-< 1):

і

[/(0, ц) (ц) ф, = 0 (/ = 0, 1, 2,..., п). (4.51)

103
В первом случае набор значений Jjlj можно найти из условия

PnM = V-

Использование этих значений для (4.50) приводит к так называемым граничным условиям Марка.

Полным набором ортогональных функций в интервале (0, 1) являются полиномы Лежандра P2J-I(Ia)- Так как для P2i_i (ji) наивысшая степень Ji равна 2 і — 1, то в качестве

(ji) можно выбрать jiai_1:

J/(0, ц)ца'"Чі = 0 (і= I, 2........п+ I). (4.52)

о

Условия (4.52) носят название граничных условий Маршака. Непосредственные расчеты показывают, что в приближениях низкого порядка (до P5-го приближения) граничные условия Маршака приводят к более точным результатам. Это связано, вероятно, с тем, что, например, при м=1 условие (4.52) имеет простой физический смысл — задание потока излучения на граничной поверхности т = 0.

Следует отметить, что на практике обычно пользуются нечетными приближениями метода сферических гармоник. Это можно объяснить следующим образом. При Я>1 (этот случай реализуется в ядерной физике и означает факт рождения частиц при взаимодействии корпускулярного излучения с веществом) решение уравнения переноса излучения методом сферических гармоник носит осциллирующий характер. Однако, начиная с Я^2,25, осцилляции решений в четных приближениях исчезают, что говорит о некотором несоответствии решений в этих приближениях действительным процессам распространения излучения в среде.

Для примера рассмотрим Ppe приближение метода сферических гармоник. Интенсивность излучения в P 1-м приближении равна

1
Для определения весовых функций A0 (т) и A1 (т) (а фактически усредненной интенсивности и потока излучения) имеем (по 4.43) систему дифференциальных уравнений:

(T) Х)[А0 (T) = 0, ¦ dA° Ф- H- 3A1 (т) = 0.

di ' di

Полученная система уравнений эквивалентна обычному уравнению диффузии:

(РА0(т)

dr®

= 3(1-*М0(т). (4.53)

Марчуком показано [39], что Рп-е приближение метода сферических гармоник является своеобразным обобщением известного диффузионного приближения.

Обозначая __________
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 44 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed