Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
П -f і + 1
2
п + і ’
Таким образом, неизвестные постоянные An можно определить из следующей системы алгебраических уравнений:
Функция q (т), полученная методом Мензела—Сена для т = 5, имеет вид
q(т) = 0,71044936 — 0,27186451 E2 (т) -f 0,41860309 Е3(т) —
— 0,31239946 Е4(т) + 0,13433965 E6 (т). (5.27)
Расчет по (5.27) дает погрешность лишь IO-5—10~4% для всего интервала изменения оптических толщин.
В заключение отметим, что если в качестве пробных функций выбирать используемые остаточные разности, то мы приходим к вариационным методам, которые подобны методам, рассмотренным в предыдущем параграфе.
т
= _А,_________L
J I о м I
п + 2 п + 3
(5.26)
124
§ 4*. Метод Монте-Карло
Изложенные выше методы иг позволяют решать задачи теории переноса .излучения, в которых наряду с пере* распределением по частотам и неизотропностью актов рассеяния необходимо учитывать такие важные факторы, как неоднородность среды и ее произвольную трехмерную конфигурацию. В настоящее время одним из основных методов решения подобных задач является метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний. Этот метод, являясь чисто численным и индуктивным,' принадлежит к вероятностным методам (об этом говорит и само название метода). Основная идея метода Монте-Карло заключается в моделировании реального физического процесса (в частности, траектории фотона), которое производится с использованием таблиц случайных чисел. При моделировании траектории фотона последовательно учитываются акты взаимодействия фотона с элементарными объемами вещества вплоть до исчезновения рассматриваемого фотона (до выхода его из среды или поглощения его средой).
При решении задач теории переноса излучения методом Монте-Карло с помощью прямого моделирования необходимо сначала выбрать некоторое число N пробных фотонов. Прослеживая историю распространения этих фотонов в среде и статистически усредняя результаты, можно отыскать искомые характеристики выходящего излучения. Так как при этом относительная ошибка расчетов пропорциональна IlVN, то число N должно выбираться достаточно большим. Из фотонов выделяется t-й фотон. Согласно таблицам случайных чисел (см., например, [44]), выбирается некоторый элементарный телесный угол (і = I, 2, ... , N\ / = 1, 2, ... ... , ti), в котором распространяется і-й фотон. Набор случайных чисел можно получить с помощью генератора случайных чисел и таблиц псевдослучайных чисел. Последние достаточно случайны, хотя и получаются по вполне определенному закону. Например, в [45] они определяются как остаток при делении 23 ап на (IO8 + -г 1), где п = 0, 1, 2, ... — некоторое произвольное
восьмизначное число. Набор чисел, получаемых таким образом, имеет повторяемость через 5882352 числа, и поэтому его можно считать достаточно случайным. Если эти
12*
числа разделить на IO81 получается набор псевдослучайных чис^л между 0 и 1.
После выбора dQ\l) необходимо определить величину пробега /-го фотона R\l) (I = 1,2......т) с учетом оптиче-
ских свойств среды. Обычно при определении R\l) используют закон Бугера. При этом следует учитывать возможность выхода кванта из среды или его поглощения. Если R0 является граничной поверхностью среды, то при R}1) ^R0 фотон покидает среду и его историю можно считать оконченной, а при R}1) < R0 фотон или испытывает поглощение (конец истории), или распространение его в среде продолжается. Таким образом, перед каждым актом рассеяния (или поглощения) состояние фотона можно охарактеризовать некоторой совокупностью чисел
Sh — Rh I ^.fc). k = 1, 2......kg,
где под Xh подразумевается вероятность выживания кванта, причем при k<k0 Xh = 1, а при k = kg Xh = 0 (факт исчезновения фотона). Набор этих чисел образует цепь Маркова, которую можно охарактеризовать некоторой плотностью 1Ir {sh, sh+1). Функция 1Ir определяет вероятность перехода фотона из k-ro в (k H- 1)-е состояние. Принимая во внимание закон Бугера, функцию 1Ir можно представить в следующем виде [24]:
при Xh = Xm = 1
ч (Vh+i) = Kp !*)(* + о)
при Xh = I, Х*+1 = 0
V{sh,sh+1}=l- a
х + а и + а при Xh = 0
1JrK. sfc+1} = о.
Функция" плотности 1F (sfc, Sh+1} позволяет находить распределение фотонов при (k 1)-м столкновении, если известно распределение при k-іл столкновении. Такое последовательное определение распределения фотонов аналогично обычному процессу итераций и при достаточно большом количестве шагов (k0, п, т= 10 — 100) эквивалентно интегральному уравнению переноса излучения. Кроме того, функция 4{sh, sft+1} позволяет определить начальное распре-
126
деление фотонов в среде, от которого существенно зависит сходимость рассматриваемого метода.
Так, начальное распределение фотонов можно задать в виде
OO
F(S1)= J^s11 S0) ео (г — х1, I)dx =
О
OO
= J (х + О) е-(х+а,\ (г — л: I1 I) dx. (5.28) о
Для точечного коллимированного источника излучения е0(г, 1) = б (г — г0) б (1 —10)
и поэтому
F (S1) = (х + <т) e-(*+0,(r-V!o6 (I —10).
Следует отметить, что применение метода Монте-Карло связано с большим объемом вычислительной работы, который доступен лишь для очень быстродействующих машин. Поэтому в настоящее время уделяется большое внимание вопросам ускорения сходимости метода Монте-Карло. В сильной степени ускорение метода достигается использованием па промежуточных этапах некоторых простейших аналитических решений. Сходимость существенно зависит и от числа выбираемых фотонов. В пределах задаваемой точности можно выбрать оптимальное число систем и, кроме того, выделить наиболее существенные области. Для выделения последних обычно пользуются теоремой перестановки источников [38]: если р — решение интегрального уравнения
