Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
для полу бесконечного сдоя (X-I)
Метод R(X)=I B(T)Zt^0 ДО. ц)/й<0 л
Приближение Шварцшильда Шустера 'H-f) -L я 2 тЯ J-(-Г+м) 3,00
Приближение Эддингтона -Ич-Ь) -Lp 2 4 3(2 \ -Гр(— + ы) 2,50
Метод Чандрасекара (я = 1) 3 р( л. 1 ) УГ' JL тЯ 4 AJ-L , ы\ 2,73
4 р[х+ уг) 4 I /3 +
Метод сферических гармоник (п = 1) Условие Маршака -Lf 2 -І-ХР 4 +w) 2,50
Условие Марка 3--р(т+ 1 ^ Уъ о -А тЯ 4 З/І.ч D _L- I..I 2,73
4 rv+ VT ) 4 L Ico
Точное решение ф — FT р 4 3 тЯ 4 — 2,90
для функции источника в приближении Шварцшильда— Шустера составляет около 33% для больших оптических толщин и уменьшается в два раза при т->0. Следует отметить, что соотношение (4.10) довольно точно описывает угловое распределение интенсивности выходящего излучения. Погрешность в определении параметра углового распределения выходящего из среды излучения
A = 1 (°’ (4.11)
HO, |i)U
составляет менее 4%. Аналогичный результат получен и при решении более общей задачи (см. § 5).
§ 2. Метод Эддингтона
Метод Эддингтона основан на предположении
j* I (т. И) ^dQ s* ~ Щ; (4.12)
(««>
где / (т) = —Ї- Г I (т, p.) dQ —усредненная по направлениям 4л J
(4Я)
интенсивность излучения.
Соотношение (4.12) позволяет свести уравнение переноса излучения к дифференциальному уравнению для /(т). Однако прежде всего убедимся в том, что для проблемы Милна поток излучения действительно является интегралом уравнения переноса. Проинтегрируем уравнение (3.1) по направлениям:
d/(т, (i) dQ __ dH __
dx 4л dx ^
(4я)
= — j /(т, и) -Ь 7 (T)
4л
(4л) (4л)
Отсюда H = const.
Умножая уравнение переноса на ц, а затем интегрируя по направлениям, находим:
‘ 93
— f / (т, |i) *ЛЮ jV/ (т, [X) dQ + j" I (x) \idQ.
m
(4л) (4Я)
Принимая во внимание условие (4.12) и равенство нулю второго члена, получаем уравнение для определения 1 (т):
4я dT{х)
-J- ¦
Отсюда
/ (т) = — — Hx + С = — Px -f С.
4я 4
Постоянную С определим из условия отсутствия потока излучения, падающего извне на граничную поверхность т=0:
о о
Щ)= ~ j* ДО, Ii)^ и I/(О, V) VdVL= ~ -Щ.
. _*I —I
. Таким образом, при т — О должно выполняться условие
щ=—— = -L р. (4.13)
2л 2
Тогда C = 1/2P и решение для /(т) записывается в виде
/(T) = - P [T+-J • (4Л4)
Аналогично соотношениям (4.7) и (4.10) находим
Т* = Т^1 + Arj (4.15)
и
ДО, Ц)|й<O = -J P (|- + w) - (4-16)
где величина T0 определяется выражением (4.8).
Сравнение выражений (4.14) и (4.16) с точными (см. табл. 2) показывает, что решение уравнения переноса
94
излучения для проблемы Милна в приближении Эддингтона при совпадает с точным решением. В облас-
ти малых оптических толщин погрешность соотношения (4.14) совпадает с погрешностью приближения Шварцшильда — Шустера. Что касается углового распределения выходящего излучения, то формула (4.16) менее точно определяет параметр углового распределения выходящего излучения Д (4.11).
§ 3. Метод Чандрасекара
Метод Чандрасекара (его иногда называют методом квадратурных формул) является своеобразным обобщением методов Шварцшильда — Шустера и Эддингтона. Его сущность заключается в представлении интегрального члена уравнения переноса излучения в виде гауссовой суммы:
f I (т, р) d\i = 2 aJ1 (т> 2 (4Л7)
—1 I=—п 1=—п
где являются корнями полиномов Лежандра и опреде-
ляются из условия
Pln(Ii) = о. (4.18)
Процедура (4.17) сводит уравнение переноса излучения к системе 2п обыкновенных дифференциальных уравнений:
(4Л9)
с условием, что при / > 0
Ij (0) = 0. <4.20)
Заметим, что \i_j = — Jxjj и для определенности положим а} = а_}. Полагая
Zi(T) = ^e-**, (4.21)
находим:
(I-Ah)^4 = flA <4-22)
1=-п
Так как правая часть (4.22) не зависит от индекса, то, принимая
95
приходим к выражению для Ai : Ai = С/( I —
Следовательно, характеристическим уравнением для системы (4.19) является
1 «гЦ CLj
— У ---------L- = 1. (4.23)
2 I — knj
1 = Tl 1
Так как
a Oj O1 O1 2а j
I — kn_j I — knj I + kfij ^ I — k\Ij I — ’
то характеристическое уравнение можно записать в виде
tt
Jmd 1 — ky і= і г
Нетрудно показать, что выражение (4.24) представляет собой полином 2 п-й степени. Однако в силу равенства единице полного веса^^ at= Ij уравнение (4.24) имеет всего
лишь 2 (п—1) корней: ± ka (а = 1, 2...............п — 1). Таким
образом, согласно (4.21), получаем решение в виде
Г С Ґ рк°-х
I (х) = у --------------------+ —
L I-AelXl 1+каіН
(4.25)
Кроме того, частным решением уравнения переноса излучения является функция
Л W = Ь (т — Hi + Q), (4.26)
где Ъ и Q — некоторые произвольные постоянные.
Это нетрудно проверить непосредственной подстановкой (4.26) в уравнение (4.19). Дополнительное частное решение в виде (4.26) вытекает из непосредственного решения уравнения переноса в приближении Эддингтона. Комбинация
(4.25) и (4.26) и яшшется решением системы уравнений
(4.19). Итак, необходимо найти 2 (п— 1) конетант Ca и С_а и две константы в (4.26). Однако вторая часть соотношения
