Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Адзерихо К.С. -> "Лекции по теории переноса лучистой энергии" -> 22

Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.

Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса лучистой энергии — БГУ, 1975. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriiperenosaluchistoyenergii1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 44 >> Следующая


для полу бесконечного сдоя (X-I)

Метод R(X)=I B(T)Zt^0 ДО. ц)/й<0 л
Приближение Шварцшильда Шустера 'H-f) -L я 2 тЯ J-(-Г+м) 3,00
Приближение Эддингтона -Ич-Ь) -Lp 2 4 3(2 \ -Гр(— + ы) 2,50
Метод Чандрасекара (я = 1) 3 р( л. 1 ) УГ' JL тЯ 4 AJ-L , ы\ 2,73
4 р[х+ уг) 4 I /3 +
Метод сферических гармоник (п = 1) Условие Маршака -Lf 2 -І-ХР 4 +w) 2,50
Условие Марка 3--р(т+ 1 ^ Уъ о -А тЯ 4 З/І.ч D _L- I..I 2,73
4 rv+ VT ) 4 L Ico
Точное решение ф — FT р 4 3 тЯ 4 — 2,90
для функции источника в приближении Шварцшильда— Шустера составляет около 33% для больших оптических толщин и уменьшается в два раза при т->0. Следует отметить, что соотношение (4.10) довольно точно описывает угловое распределение интенсивности выходящего излучения. Погрешность в определении параметра углового распределения выходящего из среды излучения

A = 1 (°’ (4.11)

HO, |i)U

составляет менее 4%. Аналогичный результат получен и при решении более общей задачи (см. § 5).

§ 2. Метод Эддингтона

Метод Эддингтона основан на предположении

j* I (т. И) ^dQ s* ~ Щ; (4.12)

(««>

где / (т) = —Ї- Г I (т, p.) dQ —усредненная по направлениям 4л J

(4Я)

интенсивность излучения.

Соотношение (4.12) позволяет свести уравнение переноса излучения к дифференциальному уравнению для /(т). Однако прежде всего убедимся в том, что для проблемы Милна поток излучения действительно является интегралом уравнения переноса. Проинтегрируем уравнение (3.1) по направлениям:

d/(т, (i) dQ __ dH __

dx 4л dx ^

(4я)

= — j /(т, и) -Ь 7 (T)



(4л) (4л)

Отсюда H = const.

Умножая уравнение переноса на ц, а затем интегрируя по направлениям, находим:

‘ 93
— f / (т, |i) *ЛЮ jV/ (т, [X) dQ + j" I (x) \idQ.

m

(4л) (4Я)

Принимая во внимание условие (4.12) и равенство нулю второго члена, получаем уравнение для определения 1 (т):

4я dT{х)

-J- ¦

Отсюда

/ (т) = — — Hx + С = — Px -f С.

4я 4

Постоянную С определим из условия отсутствия потока излучения, падающего извне на граничную поверхность т=0:

о о

Щ)= ~ j* ДО, Ii)^ и I/(О, V) VdVL= ~ -Щ.

. _*I —I

. Таким образом, при т — О должно выполняться условие

щ=—— = -L р. (4.13)

2л 2

Тогда C = 1/2P и решение для /(т) записывается в виде

/(T) = - P [T+-J • (4Л4)

Аналогично соотношениям (4.7) и (4.10) находим

Т* = Т^1 + Arj (4.15)

и

ДО, Ц)|й<O = -J P (|- + w) - (4-16)

где величина T0 определяется выражением (4.8).

Сравнение выражений (4.14) и (4.16) с точными (см. табл. 2) показывает, что решение уравнения переноса

94
излучения для проблемы Милна в приближении Эддингтона при совпадает с точным решением. В облас-

ти малых оптических толщин погрешность соотношения (4.14) совпадает с погрешностью приближения Шварцшильда — Шустера. Что касается углового распределения выходящего излучения, то формула (4.16) менее точно определяет параметр углового распределения выходящего излучения Д (4.11).

§ 3. Метод Чандрасекара

Метод Чандрасекара (его иногда называют методом квадратурных формул) является своеобразным обобщением методов Шварцшильда — Шустера и Эддингтона. Его сущность заключается в представлении интегрального члена уравнения переноса излучения в виде гауссовой суммы:

f I (т, р) d\i = 2 aJ1 (т> 2 (4Л7)

—1 I=—п 1=—п

где являются корнями полиномов Лежандра и опреде-

ляются из условия

Pln(Ii) = о. (4.18)

Процедура (4.17) сводит уравнение переноса излучения к системе 2п обыкновенных дифференциальных уравнений:

(4Л9)

с условием, что при / > 0

Ij (0) = 0. <4.20)

Заметим, что \i_j = — Jxjj и для определенности положим а} = а_}. Полагая

Zi(T) = ^e-**, (4.21)

находим:

(I-Ah)^4 = flA <4-22)

1=-п

Так как правая часть (4.22) не зависит от индекса, то, принимая

95
приходим к выражению для Ai : Ai = С/( I —

Следовательно, характеристическим уравнением для системы (4.19) является

1 «гЦ CLj

— У ---------L- = 1. (4.23)

2 I — knj

1 = Tl 1

Так как

a Oj O1 O1 2а j

I — kn_j I — knj I + kfij ^ I — k\Ij I — ’

то характеристическое уравнение можно записать в виде

tt

Jmd 1 — ky і= і г

Нетрудно показать, что выражение (4.24) представляет собой полином 2 п-й степени. Однако в силу равенства единице полного веса^^ at= Ij уравнение (4.24) имеет всего

лишь 2 (п—1) корней: ± ka (а = 1, 2...............п — 1). Таким

образом, согласно (4.21), получаем решение в виде

Г С Ґ рк°-х

I (х) = у --------------------+ —

L I-AelXl 1+каіН

(4.25)

Кроме того, частным решением уравнения переноса излучения является функция

Л W = Ь (т — Hi + Q), (4.26)

где Ъ и Q — некоторые произвольные постоянные.

Это нетрудно проверить непосредственной подстановкой (4.26) в уравнение (4.19). Дополнительное частное решение в виде (4.26) вытекает из непосредственного решения уравнения переноса в приближении Эддингтона. Комбинация

(4.25) и (4.26) и яшшется решением системы уравнений
(4.19). Итак, необходимо найти 2 (п— 1) конетант Ca и С_а и две константы в (4.26). Однако вторая часть соотношения
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 44 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed