Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Я (г) = III P (r') К (Ir - г'|)dV' + q (г), (5.29)
(V)
то вместо исходного уравнения можно рассматривать два следующих:
Pa (Г) = III Pa (Г') К (Ir — r'l) W + Я (г) (5.30)
(Vfl)
и
Pb (г)= III Рь(г)/С(|г-г'1)^Ч-
<V0+Vb>
127
+ ШраО-)К(!г-г'|)^', ' (5.31)
где Va+ Vb = V и Po + Pb = р.
При р0 «С Рь решение исходного уравнения (5.29) можно заменить на решение уравнения (5.31).
Ускорения сходимости можно добиться и анализом свойств симметрии. Так, например, с точки зрения моделирования траекторий фотонов сферически симметричная среда с изотропным рассеянием вполне эквивалентна плоской системе с анизотропным рассеянием.
Большим преимуществом метода Монте-Карло перед аналитическими методами решения уравнения переноса излучения является возможность использования получаемых результатов для исследования учета различных дополнительных факторов (отражение и поглощение на граничной поверхности, состояние поляризации и т. д.).
Существующая система алгоритмов и программ для решения задач теории переноса уізлучения [46, 47] позволяет определять радиационный режим в реальной земной атмосфере, характеристики излучения неоднородной среды, в которой распространяется узкий пучок света, и т. д.
§ 5. Метод Соболева
Метод Соболева основан на понятии вероятности выхода кванта из данной точки среды [12]. Если известно распределение источников излучения внутри среды, то его простое интегрирование по объему с учетом вероятности выхода кванта из данной точки среды позволяет непосредственно найти интенсивность выходящего излучения. При этом основные расчеты сводятся к нахождению количества световой энергии, поглощаемой в данной точке среды. Сама величина вероятности выхода кванта из данной точки среды, как показано Соболевым, с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией источников. Поэтому для ее определения могут быть использованы уже известные методы.
Пусть р (т, jli) dQ — вероятность того, что после поглощения в точке т квант выйдет из среды под углом 0=агссоэц относительно нормали к внешней поверхности среды внутри
128
• f
телесного угла dQ. Если f (т) dx — мощность светового MKffm' чения, поглощаемого элементарным объемом в точке г, JO из среды выходит только часть световой энергии: f(x)dt X X р (т, н) dS2. Отсюда интенсивность излучения, выходящего из среды под углом 0 = arccos ц к нормали, равна:
dr
/(О, V) = Jp(t, . (5.32)
Для искомой функции р(т, ц) нетрудно найти как интегральное, так и дифференциальное уравнения. Величина вероятности выхода кванта из данной точки среды определяется вероятностью двух независимых процессов. Квант может выйти из среды как без процессов рассеяния, так и после многократных актов рассеяния. Оче-
_т_
Я іі
видно, вероятность первого процесса равна — е , что
определяет только вероятность поглощения кванта при прохождении им оптической толщины т в направлении О = arccos ц. Чтобы охарактеризовать выход кванта из данной точки среды с учетом актов рассеяния, необходимо рассмотреть историю распространения кванта из точки т в некоторую точку х' и затем проинтегрировать полученный результат ло всему объему. В точке т квант возникает с вероятностью, равной
— f dQ' = — -2ndii'.
4я J 4я
<2Я)
Этот квант может быть поглощен в некотором элементарном объеме в точке т'. Вероятность этого события составляет
_1Т-.П,Лт'
е д' -------.
к
Поэтому вероятность акта переизлучения кванта,-возникшего в точке т, равна
— 2ndx е д' -1—» ..
4я J и' •
о
9. К- С. Адэерихо
129
BepwnnOCTb выхода кванта из среды после многократных процессов рассеяния определяется выражением
т.
у Jf1OT- т'|)р(т', v)dx'.
0
Таким образом, интегральным уравнением для определения вероятности кванта из среды является
P (т. H)= |*?і(|т —т'|)^(т', n)dx'.(5.33)
При сравнении полученного уравнения с (3.41) находим,
что
P(Xifi) = IilLA. (5.34)
я/0
Соотношение (5.34)7указывает на тождественность рассмотрения величин р (т, ji) и е(т, ц).
Чтобы найти дифференциальное уравнение для функции р(т, ц), необходимо рассчитать вероятность выхода кванта из точки (т + Ar). Если воспользоваться изложенными выше рассуждениями и пренебречь величинами второго порядка малости, получаем:
р (т + At, р) = р (т, fi) ^ I — j +
1
+ 2я|р(т, tf^-dp'-plO, fi)
или
<?ІЬЛІ_+±р(г, „) =
dx ц
і
= 2пр (0, ц) J р (т, ц') . (5.35)
L30
Величину р (0, ц), как н р(т, ц), можно без труда шг разить в явном виде через известные функции Амбарцумяна. Пусть на исследуемую среду под углом 0e*=arccosno к нормали слоя падает параллельный световой пучок интенсивности я/0. В этом случае
____Т_
/(T) = TtI 0е Д.
Тогда по (5.32)
/ (0, ц, ц,0) = я/0 f р (т, ц) е д. — . (5.37)
J Iі
о
Отсюда находим, что
1(0, ц, Ц.0) fi = я/0 f р(х, ц)е ^dx
о
Tl I
и,
/ (0, IV И) Vo = п1о ) P (*> Но)е dT-
о
Ho так как
р -JL dT
/ (0, ц, ц0) = е (т, ц0)е »----------- ,
J Mi
о
то из (5.34) следует закон обратимости;