Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
дАе дА, дАп
Погрешность вариационных методов уменьшается при удачном выборе функций F (х) и увеличении произвольных постоянных А„.
118
При использовании первого интегрального, оператора Милна пробную функцикГможно выбрать в виде
F (т) = А РФ {т' + ц (т')} = f РФ {A0U0 (т') +
4 4
(5.15)
-Такомвыбор пробной функции (^all U1(T) = If) обесх печивае*гпостоянство потока световой энергии для проблемы Милна. Функционал в этом случае для проблемы Милна можно записать так:
aI......An) = J - I j Л. (5.16)
о
Для простоты положим сначала, что функция источников имеет вид
B(T)=-J-PH0-M1T).
4
Тогда, используя свойства оператора Ф(§ 1, гл. 3), находим:
F (т) = А РФ (Л, + A1X') = ^-P Ua0E3 (т) -H
4 I
+ A1
•2?4 (т)
3 4*
При т —> сю F (т) Р. Отсюда из F = — Р- — A1 = P находим, что A1= 1. Поэтому
F (т) і 3 г . „ , . „ , ..
+ E24 (т)] dr = (A0Jai - Z84) = 0,
где величины
OO
jEn (T)Em (*)dT
приведены в монографии Курганова [31]. Тогда
д = -_34 .. =------------ = 0,71908 . ..
0 J8 з 18(21п2—1)
= 0,71908 . ..
Таким образом, функцию источников получаем в виде
Заметим, что величина A0 отличается от точного значения q (т) при т -*¦ оо всего лишь на 1,2 %, но при т -*¦ О оиа дает погрешность порядка 25%. При использовании в качестве ип (т) в выражении (5.15) интегрально-показательных функций En (т) погрешность метода резко уменьшается и уже при п 3 она составляет доли процента. Следует отметить, что при получении решения типа (5.17) нетрудно найти один из основных законов астрофизики — закон потемнения к краю, т. е. угловое распределение из среды излучения:
потемнения к краю получается уже практически точным (табл. 5).
о
+ Аг&г + • • • + AnIn)*
(5.18)
Отметим, что при л>5 закон
120
Л
Закон потемнения к краю
Таблиця 5
'-.J
U j 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 и
HO. д> / |я 0,577 0,720 0,837 0,94в| 1,066 1,162 1,267 1,371 1.474 1,577 1,679
В вариационном методе Маршака и Ле-Кейна использован первый интегральный оператор Милна. Подставляя в уравнение
є (т) = А {е (т')}
функцию
е(т) = 4-/>[ T + ^ (т)],
4
находим
<7 (т) = A {q (т')} + -L Е3(т).
Из чисто математических соображений, пользуясь свойством интегральных операторов Милна (§1, гл. 3):
dx
¦Ф(е) = 4[А{е} — е],
можно построить следующий функционал:
OO
J Я (т)[<7 (T)-A(^)Jdx
Y J Я W Ез (т)
о
При использовании функции q(x) в виде
П
Ц (X) = A0 + 2 AmEm(X)
т=2
Ле-Кейном для п = 3 получено выражение
д (х) = 0,710446 — 0,243608 E2 (х) + 0,224409 E3 (т),
(5.19)
121
что дает погрешность при т-»-0 всего 0,29% и почти точное значение при т -*¦ оо.
Кургановым был предложен более простой функционал, нежели (5.19):
OO
= U (т) [q (т) — А {д (т')} — E8 (т)1 <*т. (5-20)
б
Более общий функционал типа (5.20) использовался в работах Владимирова [43J. Следует отметить, что использование функционала (6.20) гораздо удобнее, хотя и несколько ухудшается цогрешность расчетов. У Курганова погрешность определения функции q(т) при т->-0 составила 0,42%.
§ 3. Обобщенный вариационный принцип
В предыдущем параграфе построение функционалов носило довольно частный характер. Однако, используя основные этапы подобных операций, можно построить общую схему отыскания функционалов для решения проблемы Милна. Каждый вариационный принцип предполагает наличие некоторой «остаточной» разности. Для первого и второго интегральных операторов (или интегральных уравнений) Милна эту разность выберем таким образом:
P (T) = = Л {«,} _ q + JL E3 (T) (5.21)
— P 1
4
и
р(т)= =Аф{т' + ?(1')}-1. (5.22)
P 4
Теперь построим функционал в виде
OO
R (р, w) = j р (т) w (т) dx, (5.23)
о
где w (г) является некоторой произвольной весовой функцией. Очевидно, что если р(т) выбрано так, что (5.23) близко -к нулю для возможно большего количества весо-
122
вых функций w(т), это означает правильность определения остаточной разности р(т). Отсюда следует принцип, предложенный Кургановым: из данной совокупности приближенных решений лучшими являются те, которые стремятся обратить в нуль функционал R для наиболее широкого класса весовых функций.
Для удобства применения этого принципа функцию w(т) можно задавать в виде набора некоторых произвольных функций:
»(т) *= ScTlWn(T).
Л*=0
где сп — некоторые произвольные постоянные*
Тогда обобщенный принцип математически можно записать в следующем виде:
OO
[ р (т) Wn (т) dx = 0, п = О, 1, 2, .. . (5.24)
о
Обычно функцию є (т) выбирают в виде ряда
Л° + т+^Лп?п(т)1. (5-25)
- О J
Использование (5.25) для (5.21) и (5.24) приводит к известному методу Мензела — Сена. Для остаточной разности р(т) находим:
P (т) = A0E2 (т) +
— H ? 2
4 - -
I N
+ -Е3(х)+ ^(Xn-En)An,
If= 2
где Xn = А {Еп (т')}.
Выбирая в качестве Wn (т) полином (п — 1)-й степени, вместо (5.24) имеем:
где
OO
о
_ /, + I + /и41 - Л-1 + (~ УП+‘ёп + , + [1+ (-l)"+f]ln2
