Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 6.3.5
(пока без доказательства) на примере суммирования независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на участке (0,1). Кривая распределения fi(x) одной такой случайной величины показана на рис. 6.3.5, a. Ha рис. 6.3.5, б показана плотность распределения Uix) суммы двух таких случайных величин; на рис. 6.3.5, в —плотность распределения /3(х) суммы трех таких величин (кривая составлена из трех отрезков параболы и по виду уже напоминает нормальную, подробнее см. пример 2 п. 9.5)* Если же сложить шесть та-
170
ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
них случайных величин, то получится случайная величина с плотностью распределения, практически не отличимой от нормальной*).
Решим несколько примеров, связанных с нормальным распределением.
Пример 1. Найти абсциссы точек перегиба кривой распределения f(x) нормального закона (рис. 6.3.6).
Решение. Точки перегиба — это такие точки, в которых вторая производная функции f(x) обращается в нуль. Дифференцируя функцию f(x) =
f(x)
1
ехр —
т-6 т т+6
Рис. 6.3.6
X
о1/2л раза, имеем Г (JC)- -/(X)[I
2а2
два
(х-т)2/о2]/о\ (6.3.20)
Выражение (6.3.20) обращается в нуль в точках т± ±а; таким образом, точки перегиба кривой распределения нормального закона отстоят на расстояние о в ту и другую сторону от центра рассеивания лі, как и показано на рис. 6.3.6. >
Пример 2. Имеется с. в. X, распределенная нормально с параметрами т, о. Найти вероятность того, что с. в. X отклонится от своего математического ожидания т больше, чем на За.
Решение.Р{|Х--т|>За} = 1- Р{|Х-т|<За}; по формуле (6.3.17), полагая Z = За, паходим:
Р{|Х-т|<За}-2ф(^) - 2Ф(3).
По таблицам функции Лапласа (приложение 2) паходим
Ф(3)« 0,49865; 2Ф(3)» 0,9973; P(IX- ml > Зо) «0,0027. Это — действительно малая героятность. >
*) При моделировании случайных явлений на ЭВМ часто пользуются вместо нормального распределения суммой шести, в крайнем случае десяти независимых с. в., имеющих равномерное распределение на участке (0,1) (см. п. 6.1).
6.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
171
Заметим, что само «правило трех сигма» ведет свое начало именно от нормального распределения, которое очень часто встречается в случайных явлениях природы. Для нормального закона это правило выполняется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться приблизительно в трех случаях из 1000. Если такая точность нас не устраивает, можно увеличить диапазон возможных значений с. в., распределенной нормально, до т±Ао:
P {| X - т I > 4о} - 1 - 2Ф (4)« 1 - 2 ¦ 0,499968 =
= 0,000064,
т. е. с. в. с нормальным распределением будет отходить от своего математического ожидания т больше, чем на 4о, только примерно в 6 случаях па 100000 опытов.
Пример 3. Откладывая от математического ожидания т последовательно, один за другим, отрезки длиной о, найти (с точностью до 0,001) вероятности попадания с. в. X1 распределенной нормально, на эти отрезки.
Решен и е. По формуле (6.3.16):
P[т<X<т + о} -ф^-і)-ф(О) = Ф(1)« 0,341; Р{т + о<Х<т + 2о} =Ф(^)-Ф0,136; P {т + 2о < X < т + Зо} = Ф ) - Ф (-^) « 0,021.
Суммируя эти вероятности, вычисленные с погрешностью пе более 0,01, найдем вероятность попадания с. в. X правее точки т: она равна 0,5. Числа 0,34, 0,14 и 0,02 полезно запомнить для ориентировочной «прикидки» вероятностей попадания нормально распределенной с. в. на какие-то участки. >
Пример 4. Завод изготовляет шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 (мм), а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с м. о. т = 10 (мм) и с. к. о. о = ¦=0,4 (мм). При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверствие с диаметром di = «10,7 (мм) и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром d2 = 9,3 (мм). Найти процент шариков, которые будут браковаться,
172 ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
U0 U1 и линейно от 0 при U = U0 до 1 при U = U1 (рис. 6.3.7). Найти полную ве-Рис. 6.3.7 роятность того, что радиолампа пере-
горит в момент включения. Решение. Функция q(u) имеет вид:
0 при и < и01 {U-U0)Z(U1-U0) при и0<и<ии
1 при и > Ux.
По интегральной формуле полной вероятности (п. 3.4) находим:
g — f q(u)f(u)dut
где q(и) — вероятность отказа радиолампы при U = u\ 1(и) — плотность распределения напряжения U1 нормальная с параметрами и0 и ом:
Решение. Вероятность того, что шарик будет забракован:
Р{|Х-т|>0,7} = 1-Р{|Х-™|<0,7}. По формуле (6,3,17)
P{|X- m|<0,7} = 2Ф(Щ) « 2.0,459 - 0,918, Р{|Х-™|>0,7} = 0,082.
Таким образом, браковаться будет около 8,2% шариков. >
Пример 5. Номинальное напряжение в схеме равно и0; фактическое напряжение U случайно и имеет нормальное распределение с параметрами q(u) U0 и ом. В схему включается радиолам-
---А па' ВеР0ЯТН0СТЬ q(u) того, что лампа
/1 перегорит в момент включения, за-
Y I_ висит от напряжения U и возрастает
6.4. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
173
du + P{U> U1}.
Последняя вероятность P{U>uJ}-P{ul<U<oo}-
