Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим интеграл:
f ц — цо 1
("~*о)2
2о*
Функция под знаком иптеграла есть не что иное, как
( ы _ и f \
производная от функции ехр s —--f—) по U1 следо-
вательно, Я
----- у
+ 0,5-Ф|^Ц-Ь). >
6.4. Гамма-распределение и распределение Эрлапга
Неотрицательная с. в. X имеет гамма-распределение, если ее п. р. выражается формулой:
Следовательно,
OO
?= j" q(u)f{u)du =
—OO
= f (»-цо)/к-"о) ехр L ("-».)*
174 ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
о
X
В соответствии с равенством (6.4.3) получим:
тх _ M [X] - к/К. (6.4.6)
Второй начальный момент найдем по формуле
OO OO
гу f ^x^e-^dx Ctk+1e-*dt Г (к + 2) _ к «г -f 1) 8,1 '"J Г(*) ~ J Л»Г(*) ~ ХгГ(А) ~ Я2 * откуда
Z)x-D [А"] - O2 [X] _ «ї - 4-. (6.4.7)
а
При к = і гамма-распределение превращается в показательное с параметром X1 рассмотренное в п. 6.2, так как Tj(I)-OI-I:
/4 (*)-**-* (*>0).
*) Например, при 711 «1-3-5-7 = 105.
к = 4 имеем: (2A — 1)!! = (24— 1)!! —
где X > О и к > О, Г (к) — гамма-функция:
OO
Г(А)-J«"'.*-1*. (6.4.2)
О
Гамма-распределение довольно часто встречается в приложениях теории вероятностей, особенно в математической статистике.
Гамма-функция обладает свойствами:
Г(*+1)-АГ(А), Г(1)-1, (6.4.3)
откуда следует, что если к целое неотрицательное число, то
Г(* + 1)'-А!«1-2-...-Л. (6.4.4)
Кроме того, нам в последующем потребуется еще одно свойство гамма-функции:
г(* + «0 -У^(Ц-1)" ; [2к - I)U = I.3-5.. ,. •(2Ar-I) *).
(6.4.5)
Найдем числовые характеристики с. в. X1 подчиненной гамма-распределению:
"kkxke~b* J и = 1 і °С -t.ki, Гік+\)
6.4. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 175
T
Рис. 6.4.1
связан со стационарным пуассоновским (простейшим) потоком с интенсивностью К.
Действительно, пусть имеется такой поток событий во времени (рис. 6.4.1). Рассмотрим интервал времени Т, состоящий из суммы к интервалов между событиями в таком потоке. Можно доказать, что с. в. T будет подчинена закону Эрланга Л-го порядка. В п. 9.5 это утверждение будет доказано.
Плотность распределения с. в. X, распределенной по закону Эрланга к-то порядка, может быть выражена через табличную функцию распределения Пуассона (5.2.7):
Л(*) - ^^Sjr - ич* - *. M
(Х>0; *>0; Л-1,2, ...), (6.4.9)
где
Можно доказать, что ф. р. с. в. X
X X
Fk (*) = J U (х) dx - X j P {к - 11 Xx) dx = о о
- 1 - R (к - I1 Xx) = R {к - 1, Xx), (6.4.10)
При целом к > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга к-то порядка:
/* (*) - %i\f-i)^" (*>°-> А = 1. 2, 3, ...). (6.4.8)
Подробнее об инженерных условиях возникновения закона Эрланга Ar-го порядка говорится в п. 9.5. Здесь достаточно лишь указать, что закону Эрланга Ar-го порядка подчинена сумма независимых с. в. X1 + X2 + ... + Хк, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром Л. Закон Эрланга к-то порядка тесно
176 ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
где Я (ft, Xx) = 1 - Ii(к, Xx) определяются выражениями (5.2.8) и (5.2.9). Следовательно, имеют место равенства, которые нам в дальнейшем пригодятся:
oo
dR{? а) - - P (к, a); R (к, a) = j /> (к, х) dx. (6.4.11)
а
Пример. Поток производимых на конвейере изделий является простейшим с параметром X. Все производимые изделия контролируются, бракованные укладываются в специальный ящик, в котором помещается не более ft изделий, вероятность брака равна р. Определить закон распределения времени T заполнения ящика бракованными изделиями и величину к исходя из того, чтобы ящик с вероятностью ^ = 0,99 не переполнялся в течение смены.
Решение. Интенсивность простейшего потока бракованных изделий будет Xp. Очевидно, что время T заполнения ящика бракованными изделиями распределено по вакону Эрланга с параметрами к и Xp:
следовательно (см. (6.4.6) и (6.4.7)):
М[Т] = к/Хр\ D [Г] = к/(Xp)2.
Число бракованных изделий за время / будет распределено по закону Пуассона с параметром Xpt. Следовательно, искомое число к нужно находить из условия
0,99 = 0 - P (T < О - Fh(t) - R (к - I1 Xpt). (6.4.12)
Например, про X = 20 [изделие/ч]: р = 0,1; t = 8 [ч] из уравнения
0,99 -Я(ft, 16)
по таблицам приложения 2, помещенным в [4]. получаем: при к = 26 (ft-1 = 25)
^aI-0,0131» 0,9869 « 0,99. >
ГЛАВА 7
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ)
7.1. Понятие о системе случайных величин
В гл. 3 и следующих за нею главах мы рассматривали отдельные случайные величины (дискретные и недискретные), их законы распределения и числовые характеристики. В принятой нами теоретико-множественной трактовке любая случайная величина X есть функция элементарного события со, входящего в пространство элементарных событий Q:
Х = ф(со), G)^Q;
каждому элементарному событию со є Q ставится в соответствие некоторое действительное число ^sS, где S — множество возможных значений случайной величины X.
В данной главе мы будем рассматривать не отдельные случайные величины, а системы (совокупности) нескольких случайных величин — двух или более.
