Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 56

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 137 >> Следующая


1. Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е.

при х2>X1 F(х21 y)^F(X11 у); при y2>yt F(X1 у2)>F(х,ух)

Это свойство следует из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (X1 у) (или обоих сразу) квадрант, заштрихованный на рис. 7.2.1, увеличивается; естественно, вероятность попадания в него случайной точки (X1 Y) уменьшиться не может.

2. Если хотя бы один из аргументов обращается в —оо, функция распределения равна пулю:

F(X1 -oo) = F(-oo, j/) = F(-oo, -OC) = O (7.2.3)

или, короче, повсюду па минус бесконечности функция распределения равна нулю.

Это свойство следует из того, что при X — оо? или у —оо, или X -> — оо, у -> —оо квадрант с вершипой в точке (X1 у) будет «уходить» с плоскости хОу\ естественно, вероятность попадания в него случайной точки будет стремиться к нулю. Это свойство вытекает также из определения (7.2.1) функции F(X1 у), так как события Х<

(7.2.2)

*) К такой упрощснпой форме записи мы прибегаем, чтобы избежать фигурных скобок внутри фигурных.

7.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ

181

а также и их произведение невоз-

фу нк-

<_оо, У<-оо, МОЖНЫ.

3. Если оба аргумента равны +оо ция распределения равна единице:

F(+oo, +оо)=1. (7.2.4)

Это следует из того, что при X +©о, у -+ +оо квадрант с вершиной в точке (х, у) заполняет всю плоскость, а попадание случайной точки (X1 Y) на эту плоскость — событие достоверное.

4. Если один из аргументов обращается в +оо, функция распределения F(X1 у) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

F[Z, +Ob)-F1(X),

(7.2.5)

F(+ 00, у) = F,{у)

где Ft(x), F2(J/) — функции распределения случайных величин X и Y соответственно:

F1 (X) = Р{Х< X}; F2 (у) - P {Y < у}.

Действительно, F(X1 + оо) = P {Х<Сх, Y < + оо}. Но {Y < +00} — событие достоверное; а любое событие,

Рис. 7.2.2

Рис. 7.2.3

будучи умноженным на достоверное событие Q, не меняется (см. п. 2.3); отсюда

F(X1 + оо) = Р{Х<х} = F1(X).

Точно так же доказывается, что

F(+ 00, у) = Р(У<y)-F2(y).

Последнее свойство функции распределения F(X1 у) наглядно можно проиллюстрировать, смещая ту или иную границу квадранта, изображенного на рис. 7.2.1, на +°° (рис. 7.2.2 и 7.2.3). В этом случае квадрант пре-

182

ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

вращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть ф. р. с. в., соответствующей тому аргументу, который не равен +оо.

5. Из определения (7.2.1) следует, что функция распределения F(X1 у) (как и функция распределения любой случайной величины) непрерывна слева по любому аргументу. Из этого видно, что в геометрической

щая указанными свойствами. Вид этой поверхности зависит от того, дискретны, непрерывны или смешанны входящие в систему св. (X1 Y).

Зная функцию распределения F(X1 у), можно найти вероятность попадапия случайной точки (X1 Y) в пределы прямоугольника R со сторонами, параллельными осям координат, ограниченного абсциссами (а, ?) и ординатами (^, б) (левая и нижняя границы включаются в R1 а правая и верхняя— не включаются; см. рис. 7.2.4, где жирными линиями обозначены включаемые в R границы). Докажем, что

P {(X1 Y)E=R) = F (?t 6) - F (аг 6) - F (?, Y) + F (ос, у).

Действительно, вероятность попадания в прямоугольник R равна вероятности попадания в квадрант с вершиной в точке (?, б), минус вероятность попадапия в квадрант с вершиной в точке (а, 6), минус вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (?, Ч[), плюс вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (a, if), которую мы вычли дважды.

Функция распределения F(X1 у)— наиболее универсальная форма закона распределения, пригодная для системы любых двух случайных величин — дискретных и педискретных.

интерпретации F(X1 у) как вероятности попадания в квадрант с вершиной (х, у) правая и верхняя границы квадранта в него не включаются.

Рис. 7.2.4

? X

В геометрической интерпретации функция распределения F(x, у) есть некоторая поверхность, обладаю-

(7.2.6)

7.3. СИСТЕМА ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 183

7.3. Система двух дискретных случайных величин. Матрица распределения

Рассмотрим случай двух дискретных случайных величин (Ху Y). Для простоты будем считать, что множество возможных значений каждой из них конечно; для св. X это S = {хи х2, Xn], а для св. У —H = = ІУі, Угу Ут). Обозначим рц вероятность того, что с в. X примет значение я,, а св. F - значение у у.

p.. = P(X = ^; У = у.}. (7.3.1)

Событие {Х = Хі\ У = */,) есть произведение событий {X = Xi) и [Y-Jf,}.

Аналогом ряда распределения одной дискретной случайной величины X для двух дискретных случайных величин (Х} Y) является матрица распределения — прямоугольная таблица, в которой записаны все вероятности Pv (1 = 1, п\ / = 1, т). Матрицу распределения системы двух дискретных св. (X1 Y) будем записывать в виде:

X і \
Vi
Vt



Vm

х1
PlI
Pl2


Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed