Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 51

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 137 >> Следующая


У л J У л J

—00 —00

Первый из интегралов в формуле (6.3.4) равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй представляет собой известный интеграл Эйлера — Пуассопа:

00 OO

J e~*dt - 2 J e-^dt = Vn. (6.3.5)

— оо О

Следовательно, м. о, величины X существует и, как мы и ожидали, равно т:

M [X] « т. (6.3.6)

Величина т — м. о. нормально распределенной с. в. X, называется ее «центром рассеивания». Вычислим дисперсию с. в. X:

оо (х—TTt)2

г —00

Применим снова замену церемонной (6.3.3):

OO

Ул J

•—OO

чайной величины X, если оно существует (пиже мы непосредственно в этом убедимся). По мере удаления от точки т плотность )(х) падает, и при х-+ 00 кривая распределения асимптотически приближается к оси абсцисс Вычислим основные характеристики с в. X1 распределенной по нормальному закону (6.3.1),—м.о., дисперсию и с к. о. Имеем:

OO оо (X-W)8

M J xf(x)dx = —у= J хе i0* dx. (6.3.2)

— 00 —00

Применяя замену переменной

*A(x_m)/(0.y2), (6.3.3)

6 3 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 163

Рис. 6.3.2

есть не что ппое, как среднее квадратическое отклонение св. X:

Ox = /DlXj = с. (6.3.8)

Размерности как м. о.~ т, так и с к. о.~ о совпадают с размерностью с в. X.

Посмотрим, как будет меняться кривая распределения при изменении параметров т, о. При изменепии т кривая /(х), не изменяя своей формы, просто будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменепие о равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, при удвоении о масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат — уменьшится в два раза. Для иллюстрации на рис. 6.3.2 показаны три нормальные кривые распределений; для всех трех т = 0; для кривой (I) а — 1, для кривой (II) 0 = 2,5, для кривой (III) ов1/2 (при построе-

6*

Интегрируя по частям, получим:

OO / OO ч

— 00 * —* OO /

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как е при t -> оо убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (6.3.5), равно Уя, откуда

D [Xj = о\ (6.3.7)

т. е. дисперсия с. в. X, распределенной по нормальному закону с параметрами т, о, равна о2. Значит, параметр о

164 ГЛ. в. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2

1 -т*

— нормальная плотность для т » О, 0 = 1, приведенной в приложении [4]). Как видно из рис. 6.3.2, при увеличении о кривая распределения становится более плоской, растягивается вдоль оси абсцисс; при уменьшении о — вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (в обоих случаях ограничивая единичную площадь).

Вычислим для нормальной св. X (6.3.1) ее центральные моменты любого порядка \i, [X]. Имеем

PO оо (дс—ти)а

M*]- f (x-m)V(i)dx- *_ f (х-тУе dx. L *У2я L

Снова делая замену переменной (6.3.3), получим:

оо

ц, [X] -ц,- Щ^Х f t'e-^dt. (6.3.9)

У* L

Естественно, при любом нечетном » |і,-0 (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю); предположим, что s четно, и применим к (6.3.9) интегрирование по частям:

' У~

2f |-M.-\ft-

л J

Vn Г2

— OO '

Имея в виду, что первый член внутри фигурных скобок равен нулю, получим:

_ (.-D(O]^y С rv^. (6 з 10)

2 Т/ л */

—OO

Теперь подставим в формулу (6.3.9) s —2 вместо s: „.2 = (2^iJf-V'V (6.3.11)

нии кривых мы пользовались таблицей значений функции

6.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 165

а—m о

Как известно, неопределенный интеграл J ё~% 2dt не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию

X

ф{х) "шї''**'4'1 (6,3,15)

* о

называемую функцией Лапласа (или «интегралом вероят-

Сравнивая между собой правые части формул (6.3.10) и (6.3.11), видим, что они отличаются только множителем (5—1)о2. Следовательно,

11.-(J-I)O8Ii.-,. (6.3.12)

Формула (6.3.12) представляет собой простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких четных порядков через центральные моменты более низких. В частности, учитывая, что для любой св. M-O = I, получим: Ji2 = O2; [X45=8Зо4; |д,в 3 • 5о8 = 15о8 и т. д.

Из выражения для ц4 получим

ji4/o4 = 3o4/o4 = 3.

Следовательно, эксцесс нормального распределения равен нулю:

ex = fi4/o4-3 = 0 (6.3.13)

(мы об этом уже упоминали в п. 4.2).

Вычислим для нормальной с. в. X вероятность попадания на участок от а до ?:

? ? (x-mV*

P {а < X < ?) = Г /(*) dx = —7= Г e 2O* dx. (6.3.14)

J O ]/Zn J

а r а

Сделав в интеграле (6.3.14) замену переменной f=3 = (# — т)/о и соответственно изменяя пределы интегрирования, получим

?-m о

P{«<X<?> * jV<'%.

j?? ГЛ. в. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

делая замену переменной —/ = Z1 получим

о

Третье свойство следует из того, что, согласно (6.3.5), -2-?е~tV4t -J-!e-UIVJ)id-l___L. VfL e і

Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания нормальпо распределенной с. в. X на участок длиной 2/, симметричный относительно центра рассеивания (рис. 6.3.3). А именно,

Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed