Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 58

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 137 >> Следующая


U1=O; щ = 1; us = 2; ик = 3; иь = 4. Возможные значения св. V (в порядке возрастания):

V1 =-2; V2 = —1; и> = 0; vk = \\ v> = 2. Найдем все вероятности Pu = P{U = uh V = Vi) ? = 1,2,.,,,5; /=1,2,,.,,5),

188

ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙПЫХ ВЕЛИЧИН

Для этого составим таблицу значений случайных величин U та. V при заданных значениях X и Y (см. (7.3.8)); значение величины U записано в верхней левой половине клетки, величины У —в нижней правой:


0
1
2

0
0 уУ
уУ 0
1 уУ у/ -1
2
>^ -2

1
1 уУ
уУ 1
2 У
у 0
3 У уУ -1

2
2 уУ У 2
5 У У 1
4
У 0

(7.3.8)

Пользуясь этой таблицей и матрицей распределения (7.3.5), найдем:

Pn-p[U = O; F = -2} = 0

(так как клетки с такой парой значений в таблице (7.3.8) нет); аналогично

р12=Р(?/=0;

P14=P(^=O; P16=P(^=O P21=P(^=I P22=P(^=I P23=P(P=I

P26=Pl^=I

V=-1)=0 7=0)=0,0324 F=I)=O 7=-2)=0 V=-2)=0 ^=-1)=0,0432 7=0)=0 ^=1)=0,1512 7=2)=0 7=-2)=0,0144 7=-1)=0 7=0)=0,2016

P8s=P^=2;

Матрица распределения системы случайных величин

p34=P(tf=2;

P42=P(^ Ра-Р^=3:

P51=P(m

7=1)=0 F=2} =0,1704 7=-2)=0 V'=—1)=0,0672 F=O)=O 7=1)=0,2352 7=2)=0 7=-2)=0 F-I)=O 7 =0)=0,0784 7=1)=0 7=2)=0

7.3. СИСТЕМА ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 189

(U1 V) :'

Ч \


V3=O
t>4=i
я>,=2

U1= О
О
0
0,0324
0
0

U2 = 1
О
0,0432
О
0,1512
0

Ug = 2
0,0144
0
0,2016
0
0,1764

1/4=3
. 0
0,0672
0
0,2352
О

«»~4
0
О
0,0784
0
0

(7.3.9)

Суммируя вероятности, стоящие в строках и столбцах матрицы (7.3.9), получим:

P {?/-0} = 0,0324; риз - P {U = 1} - 0,1512 + 0,0432 = 0,1944; pUi = P {U = 2} = 0,2016 + 0,0144 + 0,1764 = 0,3924; P71 = P {U = 3} - 0,0672 + 0,2352 = 0,3024; P4= P (6/ = 4} = 0,0784; ^1 = P {V = -2} = 0,0144; P^2 = P {V = -1} = 0,1104; P1] - P(f-o) = 0,3124; P4 -P(^ = 1) = 0,3864; /^-P(k-2}-0,1764.

Ряды распределения случайных величин ?7 и V:

0
1
2
3
4

0,0324 — 2
0,1944 - 1
0,3924 0
0,3024 1
0,0784 2

0,0144
0,1104
0,3124
0,3864
0,1764

(7.3.10)

(І7, V) имеет вид:

190 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дх-*0 Ду-*0

Зная матрицу распределения \\pti\\ системы двух дискретных случайных величин (С/, V), можно найти ее функцию распределения F (U1 v):

F(u,v)~ S 2/V (7•3.1I)

где первая сумма распространяется на все значения Pu, для которых и{ < и\ вторая — на все значения pih для

КОТОРЫХ Vj < v. >

7.4. Система двух непрерывных случайных величин. Совместная плотность распределения

Система двух с. в. (X, Y) называется непрерывной, если ее ф. p. F(х, у) есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой су-

O2F (X1 у) ^

ществует вторая смешанная производная дх д . Оое

составляющие системы X и У представляют собой непрерывные с. в.

Аналогично тому, как мы определяли п. р. ](х) для одной св. X1 определим п. p. J(X1 у) (иначе — совместную плотпость) для системы двух непрерывных с. в. (X1 Y). Это есть не что иное, как предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник, примыкающий к точке (х, у)1 к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю.

Рассмотрим на плоскости хОу малый прямоугольник Д/?ху, примыкающий к точке (X1 у), с размерами Ад:, Al/ (рис. 7.4.1), и найдем вероятность попадания в него случайной точки (X, У). Согласно формуле (7.2.6) эта вероятность равна:

Р{(Х, У)єД^} =

= F(x+ Ax1 у + Ay) -F(X1 у + Ay)-F (х+Ax1 у) +F(X1 у).

Будем неограпичепно уменьшать оба размера прямоугольника: Ax -+ 0, Ay -+ 0 и вычислим предел:

lfm F {х + А*' у + Ау) ~ F (Х'У + W — F (х + Ax1 у) + F (X1 у)

Ax Ay

(7.4.1)

7.4 СИСТЕМА ДВУХ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ш

Если функция F(X1 у), как мы условились считать, непрерывна и дифференцируема по каждому аргументу, то предел (7.4.1) есть не что иное, как вторая смешанная частная производная функции F(X1 у):

П*>У)-Щ-и?(*,У). (7.4.2)

Функция j(x, у) называется плотностью распределения (иначе — совместной плотностью) системы двух непрерывных с. в. (X1 Y).

Плотность /(.г, у) обладает следующими свойствами:

OO

1)/(*,у)>0; 2) j§f(x,y)dxdy=l. (7,4.3)

— 00

Первое свойство следует из того, что F(X1 у)—неубывающая функция по каждому из аргументов; второе свойство будет доказано ниже (см. (7.4.8)).

Геометрически совместная плотность J(X1 у) системы Двух с. в. (X1 Y) изображается поверхностью распределения (рис. 7.4.2). Так как j(x, у)>0, то вся поверхность распределения лежит не ниже плоскости хОу* Так

00

как \\f(x>y)dxdy = \х то полный объем, огра-

— 00

ничейный поверхностью распределения и плоскостью XOy1 равен единице.

Аналогично тому, как мы ввели понятие «элемент вероятности» f(x)dx для одной случайной величины X1 введем попятив элемента вероятности для системы двух

192

ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed