Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Первые четыре ординаты геометрического распределения для р = 0,4; д = 0,6 показаны на рис. 5.3.1.
Найдем числовые характеристики с. в. X9 распределенной по геометрическому закону. Для этого запишем ее производящую функцию: р
Ф(*) = Р 2 (q*)m. W
0,2
Суммируя бесконечно убы- Q 1. вающую геометрическую про- 9 грессию со знаменателем qz< д < 1, получим
<p(z)«p(l-?z)-'. (5.3.3)
Дифференцируя выражение (5.3.3) по z, найдем:
ф'(«)-м(1-««).-•. (зад
Откуда находим и. о.:
mx = (p'(i) = pq(i-q)-\
Сокращая на р = 1 — q, находим:
тх = q/p. (5.3.5);
Дифференцируя еще раз (5.3.4), имеем ф*(*) = 2и»(1-«*)-«; ф* (1)-2^(1-9)^-2^. Отсюда находим второй начальный момент с. в. X: а,-ф"(1)+т,- 2g7p2 + q/p - q (2g + р)/р\ Ho 2g + p = g + p + g — i + q (так как р + g — 1); отсюда a2 = g(l + g)/p\ (5.3.6);
Вычитая из (5.3.6) ml = q*/p%l находим дисперсию с. в. X
Д,- q/p* (5.3.7);
и, наконец, с. к. о.
o.-iffi-fj[/p. (5.3.8);
На практике чаще приходится рассматривать не с. в. X, имеющую геометрическое распределение, а другую св.:
Г-Х+1 (5.3.9Ї
148
ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(число попыток до первого «успеха», включая удавшуюся).
Ряд распределения с. в. У имеет вид:
1 1 2 I 3 J ...| т | ...
P i ЯР
\fp\
пт-1
р\
Будем называть такое распределение «геометрическим, сдвинутым на единицу» или «геометрическим + 1». Многоугольник распределения с. в. Y при р = 0,4 имеет тот же вид, что и на рис. 5.3.1, но сдвинут вправо на одну единицу (рис. 5.3.2).
Найдем м. о. и дисперсию с. в. X. Пользуясь свойствами числовых характеристик, приведенными в п. 4.2, получим
TYlx
= M [X + 1] = mx + 1 - q/p + 1 =
uy = VDy = Ox = V q/p.
(5.3.10) (5.3.11) (5.3.12)
Пример 1. При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от других циклов) обнаруживается с вероятностью р = 0,2. Найти м. о. и дисперсию числа X циклов обзора, которое придется произвести без обнаружения объекта и числа Y циклов обзора, которое придется произвести вплоть до обнаружения объекта (включая тот, при котором объект будет обнаружен) . Найти м. о., дисперсию и с. к. о. каждой из с. в. X1 Y9 Пользуясь правилом трех сигма, найти максимальное практическое возможное число циклов, за которое объект еще не будет обнаружен. Найти вероятность того, что фактическое число «безуспешных» циклов превзойдет его м. о. больше, чем на За.
Решение: св. X имеет геометрическое распределение с параметром /> = 0,2; по формулам (5.3.5), (5.3.7) и (5.3.8) имеем:
mx = (l-0,2)/0,2 = 4; /), = 0,8/0,04 = 20; о,= У20«4,46; св. У имеет «геометрическое + 1» распределение; ее м. о.
5.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
149
771,, = 4 + 1 = 5; ее дисперсия такова же, как дисперсия с. в. X:
P{X>mA + Зол} = Р{Х>4+ 13} = 1-Р{Х<17} =
Таким образом, вероятность того, что с. в. X превзойдет свое м. о. больше, чем на Зо, довольно мала (меньше 2%; отклонения в меньшую сторону не рассматриваем, так как они приводят к отрицательным значениям X, что вообще невозможно). >
Пример 2. В нашем распоряжении имеется п лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и в сеть включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Рассматривается случайная величина Z — число лампочек, которое будет испробовано. Построить ряд распределения св. Z и найти ее м. о.
Решение. Распределение св. Z для всех значений т<п есть «геометрическое +1» распределение с параметром q — 1 — р. Найдем P {Z = п). Это есть вероятность того, что будут испробованы все п лампочек, а значит, первые /г — 1 лампочек окажутся дефектными. Следовательно, P[Z = п) = рп~\
Ряд распределения с в. Z имеет вид:
Dy = 20; Oy « 4,46.
Найдем
17
- q1* = 0,818« 0,0180144.
Z :
1| 2 I 3 j ...| т I ...|л-1| п
q\pq\tq\...\p"-1q\...\pn-%*\pn-1 *
где q=l-p.
Производящая функция с. в. Z равна
tfls-l "
+ P
О-р"-1»**-1) (1-р«)+Р (* - P71-1*")
п-1__п-1
150 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Полагая в ней z — 1, получим:
(В дальнейшем — см. гл. 8 — мы вернемся к этой задаче и найдем тг другим способом, как м. о. минимума из двух величин: с. в. Y1 распределенной по геометрическому закону с параметром р, и неслучайной величины п.) >
5.4. Гипергеометрическое распределение
Говорят, что случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами а, ft, п, если ее возможные значения 0, 1, ..., m, ..., а имеют вероятности:
Pn - р {X = т) = (ССГт)/Спа+ь (те - O1 ..., а).
(5.4.1) *)
Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой Ь белых и а черных шаров; из нее вынимается п шаров. Случайная величина X — число белых шаров среди вынутых.
В п. 1.2 мы уже сталкивались с такой задачей и убедились, что формула (5.4.1) справедлива.
Важнейшие числовые характеристики случайной величины X1 имеющей гипергеометрическое распределение, равны соответственно:
