Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 52

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 137 >> Следующая

Р{т-1<Х<т + 1} = Р{\Х -т\<1}~

*) В некоторых руководствах по теории вероятностей «функцией Лапласа» называют пе функцию (6.3.15), а другую, отличающуюся от вее постояниым множителем, в чем нетрудно в случае надобности разобраться.

ностей»), для которой составлены таблицы (приложение 2)*).

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной с. в. X на участок от сх до [J выражается простой формулой:

Р{а<Х<Р) = ф(^)-ф(^4 (6.3.16)

Функция Лапласа Ф{х) обладает следующими свойствами: 1) Ф (0) = 0; 2) Ф(-х)=*-Ф(х) (нечетная функция); 3) Ф(+°о)«0,5 (и, значит, Ф(-со)--0,5).

Действительно, первое свой-fflc) ство очевидно:

6 3 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

167

или, принимая во внимание нечетность функции Лапласа,

P {I X - т I < I) = 2Ф (На). (6.3.17)

Через функцию Лапласа выражается и ф. p. F(x) нормально распределенной св. X. По формуле (6.3.16), полагая а==— <», ? = s и учитывая, что 0(-00) = -1/2, получим:

/г(х)=4+ф(^Т^)- (6-ЗЛ8>

Теперь несколько слов об условиях возникновения нормального распределения и о причинах его широкой распространенности в случайных явлениях природы. Опо возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Xi7 X2, ..., Xn

Х=%Х{ (6.3.19)

(причем эти величины сравпимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы). Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин X11 X21 ..., Xn, закон распределения их суммы X будет близок к нор-мальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых п).

Высказанное выше положение, которое мы пока никак не обосновываем, представляет собой, в грубых чертах, содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей, с различными формами которой мы познакомимся в гл. 10. Ограничение, нала* гаемое на складываемые случайные величины («чтобы они были сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы») становится попятным, если представить себе, что, скажем, одна из случайных величии A',, X21 ..., Xn обладает очень большим рассеиванием, резко превалирующим над рассеиванием всех остальных; ясно, что закон распределения именно этой случайной величины на-тожит свой отпечаток па закоп распределения суммы, і никакой «нормализации» но произойдет. Это условие гримерной «равноправности» слагаемых будет выражено а математической форме для различных форм центральной предельной теоремы в гл. 10.

168

ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Очерь часто встречающиеся на практике случайные величины образуются именно в результате суммирования многих случайных слагаемых, сравнимых по степени своего влияния на рассеивание суммы. В частности, в очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному. Действительно, пусть, например, мы взвешиваем тело на точных (аналитических) весах. Обозначим X ошибку взвешивания и представим ее в виде суммы большого числа малых погрешностей, каждая из которых вызвана действием одной, отдельной, не зависимой от других причины:

X= У, xh

г=1

где, например, Xi — ошибка, возникающая из-за положения тела на чашке весов; X2 — ошибка от неточности зрительного совмещения стрелки весов с определенной отметкой шкалы; X3 — ошибка, связанная с вибрацией стола, на котором установлены весы, и т. д. Ясно, что число п таких «элементарных» ошибок весьма велико; мы вправе ожидать, что с. в. X будет иметь нормальное (или близкое к нормальному) распре-ОС Y) деление. Это и подтверждается опытом: I как Правил0^ ошибки «точных измере-

I ний» имеют распределение, близкое

j к нормальному*).

I Ошибки стрельбы (координаты точ--1—- ки попадания X, У в системе коорди-

^ нат, связанных с точкой прицелива-

Рис. 6.3.4 ния 0 (рис. 6.3.4)) по тем же причи-

нам имеют нормальное (или близкое к нему) распределение: каждая из величин X, Y представляет собой сумму большого числа слагаемых (элементарных ошибок), связанных с отдельными причинами, вызывающими отклонение снарядов от точки прицеливания.

Ошибки выполнения команд автоматизированным устройством; ошибки вывода космического корабля в за-

*) Ранее мы показали, что ошибка «грубого измерения» имеет равномерное распределение. «Грубое измерение» отличается от «точного» тем, что его повторение дает всегда одно и то же значение измеряемой величины; при «точном» же измерении результат от раза к разу меняется.

6.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

169

данную точку пространства; ошибки параметров элементов вычислительной техники, а также множество других «ошибок», сопровождающих целенаправленную деятельность человека, в очень большой доле случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. В дальнейшем (пп. 9.5, 9.8) мы встретимся с примерами случайных величин, образованных суммированием большого числа случайных слагаемых и поэтому распределенных практически нормально. Заметим, что при увеличении числа слагаемых закон распределения их суммы довольно быстро «нормализуется». Продемонстрируем это
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed